有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣
；即可得出．
【解答】证明：联立，解得，或，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），
显然k1≠k2；
从而k1?kCB=∴kCB=﹣同理kDB=﹣
； ，
?===﹣，
于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣
（x+2）；
由，解得，从而点N的坐标为
；
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为
．
∴kMN=
==﹣1；
即直线MN的斜率为定值﹣1；
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）； 仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣此时CA：x=2，DB：y+1=﹣
；
）；
（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣
第21页（共55页）
BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣
，﹣1），
从而kMN=﹣1也成立．
综上可得：kMN=﹣1为定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
10．已知过点（
，
）的椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角
三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若对椭圆C右焦点的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得（O为坐标原点），求四边形ODGE的面积． 【分析】（1）根据条件建立方程关系，求出a，b的值即可求椭圆C的方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据求出D、E的坐标，根据
=
求出G的坐标，代入椭圆
=
即可求出直线斜率和方程，利用点到直线的距离以及弦长公式即可求四边形ODGE的面积． 【解答】解：（1）∵∴b=c，即a=即
+
b，
2
+=1（a＞b＞0）的一个顶点与两焦点构成直角三角形，
=1，即b=+y，
2
∵点（，）在椭圆C：+=1上，
∴b=
2
2
+y=
2
2
+（）=
2
，
则a=2b=2， 即椭圆C的方程为
+y=1；
2
（2）∵b=c=1，∴椭圆C右焦点F（1，0），
的直线与椭圆C交于两点D、E，且椭圆C上样在一点G，使得设x=ky+1，D（x1，y1），E（x2，y2） 代入椭圆方程
2
2
=（O为坐标原点），
+y=1得
2
+y=1
2
即（k+2）y+2ky﹣1=0，
第22页（共55页）
则y1=，y2=
，
则x1=ky1+1=
，
x2=ky2+1=
，
则x1+x2=设G（x，y）， 则由
=
得
，y1+y2=
，
=+
=（x1+x2，y1+y2）=（
，），
G在椭圆上，代入椭圆得则（）+（
2
）=1，
2
即
在直线方程为x=原点到直线x﹣
，即y+1，
=1，即k+2=4，即k=2，得k=
22
（舍掉﹣）．
y﹣1=0的距离d==，
而DE=，则四边形ODGE的面积S=2××=．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质，根据条件，利用待定系数法求出直线方程是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．
第23页（共55页）
11．（2005?福建）已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1
（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
?
=
．cot∠MON≠0
（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）解法一：直线l：y=
x﹣2
，过原点垂直l的直线方程为y=﹣
x，这两
个方程联立可知x=．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知
=3．由此可以求出椭圆C的方程．
解法二：直线l：y=x﹣3．设原点关于直线l对称点为（p，q），则
解得p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知=3．由此
能够推出椭圆C的方程． （II）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入
+
=1，整理得（3k+1）x+12kx+12k﹣6=0，再由根与系数的关系和点到直线 的
2
2
2
2
距离求解． 【解答】解：（I）解法一：直线l：y=过原点垂直l的直线方程为y=﹣解①②得x=．
x﹣2，①
x，②
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴
2
2
=2×=3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a=6，b=2．故椭圆C的方程为+
=1③
第24页（共55页）
解法二：直线l：y=x﹣3．
设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴
2
2
=3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a=6，b=2．故椭圆C的方程为+
（II）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．
当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，
2222
整理得（3k+1）x+12kx+12k﹣6=0， ∴x1+x2=﹣
，x1?x2=
，
=1③
|MN|===
，
点O到直线MN的距离d=．
∵∴|即4
?|?||k|
=cot∠MON，即||sin∠MON=4
=
|?||cos∠MON=
．∴|MN|?d=
，
≠0，
，∴S△OMN=
2
（3k+1）， ．
． x﹣
，或x=﹣2．
整理得k=，∴k=±
2
当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN=故直线m的方程为y=经检验上述直线均满足所以所求直线方程为y=
x+?x+
，或y=﹣≠0．
，或y=﹣
x﹣，或x=﹣2．
第25页（共55页）