【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力． 19．（1999?广东）如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=﹣1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
【分析】欲求点C的轨迹方程，设点C（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知点C到OA、OB距离相等得到一个关系式，化简即得点C的轨迹方程，最后对参数a进行讨论来判断轨迹是什么图形即可． 【解答】解：依题意，记B（﹣1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=﹣bx．
设点C（x，y），
则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等． 根据点到直线的距离公式得
．①
依题设，点C在直线AB上，故有由x﹣a≠0，得
．②
．
将②式代入①式得
2
2
2
，
整理得y[（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y]=0．
22
若y≠0，则（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y=0（0＜x＜a）； 若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．
22
综上得点C的轨迹方程为（1﹣a）x﹣2ax+（1+a）y=0（0≤x＜a）
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因为a≠0，所以．
由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段；
【点评】本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．
20．如图，已知椭圆C：
+
=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆
C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：
?
为定值．
【分析】（I）设A（x1，y1），B（0，﹣b），线段AB的中点E（x0，x0），x0≠0．直线方程
2222222
与椭圆方程联立化为：（a+9b）x+12ax+36a﹣9ab=0，
利用根与系数的关系、中点坐标公式，及其x0+3x0+6=0，联立解出即可得出．
2
（II）由（I）可得：A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）．设P（m，n），代入椭圆方程化为m=12﹣3n．直线AP，BP的方程分别为：y=
2
（x+3）﹣1，y=x﹣2，分别与直线方程y=x
联立解得M，N．利用数量积运算性质即可得出． 【解答】（I）解：设A（x1，y1），B（0，﹣b），线段AB的中点E（x0，x0），x0≠0． 联立
，化为：（a+9b）x+12ax+36a﹣9ab=0，
2
2
2
2
2
22
第37页（共55页）
∴x1+0=
2
2
=2x0，=0，x0+3x0+6=0，
解得b=4，a=12， ∴椭圆C的方程为：
=1．
（II）证明：由（I）可得：A（﹣3，﹣1），B（0，﹣2）． 设P（m，n），可得
=1，化为m=12﹣3n．
（x+3）﹣1，y=
x﹣2， ，N
．
2
2
则直线AP，BP的方程分别为：y=分别与直线方程y=x联立解得M
∴?====
=3为定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、数量积运算性质，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题． 21．（2006?山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程． 【分析】（Ⅰ）先设出椭圆标准方程，根据题意可知b=c，根据准线方程求得c和a的关系，进而求得a，b和c，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程和A，B的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理求得x1+x2，x1x2的表达式，表示出|AB|，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于S的不等式，求得S的最大值，进而求得k，则直线方程可得． 【解答】解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得?，
∴所求椭圆方程为8x+16y=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
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22
由，消去y得关于x的方程：（1+2k）x+8kx+6=0，
22
由直线l与椭圆相交于A、B两点， 22
∴△＞0?64k﹣24（1+2k）＞0 解得
又由韦达定理得
∴=
原点O到直线l的距离
∵．
对两边平方整理得：4Sk+4（S﹣4）k+S+24=0（*）
24222
∵S≠0，
整理得：又S＞0，∴
，
4
2
从而S△AOB的最大值为
此时代入方程（*）得4k﹣28k+49=0∴
所以，所求直线方程为：． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生分析问题和基本运算的能力．
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22．（2006?北京）已知椭圆+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭
．
圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=（1）求椭圆的方程；
2
2
（2）若直线l过圆x+y+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
【分析】解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3，由此可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x+2）
2222
+1，代入椭圆C的方程得（4+9k）x+（36k+18k）x+36k+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以
．解得
，由此可求出直线l的方程．
，
（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且
，
①，②
由①﹣②得．③因为A、B
关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率为，由此可求出直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3． 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=
222
从而b=a﹣c=4， 所以椭圆C的方程为（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
22
已知圆的方程为（x+2）+（y﹣1）=5， 所以圆心M的坐标为（﹣2，1）． 从而可设直线l的方程为 y=k（x+2）+1， 代入椭圆C的方程得
2222
（4+9k）x+（36k+18k）x+36k+36k﹣27=0．
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，
，
=1．