（2）设P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0），F（﹣1，0）．直线MN的斜率为0时，不满足题意．设直线MN的方程为：my=x+1，m=0时，MN⊥x轴，
22
可得△PMN不是等边三角形，舍去．m≠0时．与椭圆方程联立化为：（m+2）y﹣2my﹣1=0．利
23
用根与系数的关系及其中点坐标公式，及其PQ⊥MN，可得：t（m+2）=3m+2m．再利用|PQ|=
|MN|化简即可得出．
【解答】解：（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：，解得y=，
∴|MN|==（2+
，∴△AMN的面积a），与
2
2
2
==
．
×（a+c），化为：2b（a+c）
2
，a=b+c联立解得：c=b=1，
=1．
∴椭圆的标准方程为：
（2）设P（﹣2，t），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0），F（﹣1，0）． 直线MN的斜率为0时，不满足题意． 设直线MN的方程为：my=x+1， m=0时，MN⊥x轴， |MN|=m≠0时．
2
2
=，点F到直线x=﹣2的距离d=1，△PMN不是等边三角形，舍去．
联立，化为：（m+2）y﹣2my﹣1=0．
∴y1+y2=，y1y2=
．
∴y0=
=
，x0=my0﹣1=
．
∵PQ⊥MN，∴×=﹣1，化为：t（m+2）=3m+2m．
23
|PQ|==．
|MN|==．
第16页（共55页）
又|PQ|=|MN|，∴
2
=×
2
，
化为：（tm+1）（2+m）=
2
3
（1+m）
2
．
．
与t（m+2）=3m+2m联立可得：m=，解得m=
∴直线MN的方程为：±y+=0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次的根与系数的关系、斜率计算公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
7．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭
圆于A、B两点，|AB|的最小值为3，且△ABF2的周长为8． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点M，求△ABM面积的取值范围． 【分析】（I）把x=﹣c代入椭圆的方程可得：解得y=最小值
=3．根据△ABF2的周长为8，可得4a=8．又
．当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得
，联立解出即可得出．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1）．直线AB的方程为my=x+1，与椭圆方
22
程联立化为：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=
，直线A′B的方程为：y+y1=
=（x
﹣x1），令y=0，可得：xM=
=﹣4．M（﹣4，0）．利用点到直线的距离公式可
得：点M到直线AB的距离d，利用S△ABM=与最值、不等式的性质即可得出．
【解答】解：（I）把x=﹣c代入椭圆的方程可得：y=
2
及其利用导数研究函数的单调性极值
，解得y=．
当AB⊥x轴时，弦长|AB|取得最小值∵△ABF2的周长为8，∴4a=8． 又
，联立解得a=2，b=
=3．
，c=1．
∴椭圆的方程为：=1．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，﹣y1）．
第17页（共55页）
直线AB的方程为my=x+1，
2
2
联立，化为：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，
∴y1+y2=，y1y2=
．
|AB|==
直线A′B的方程为：y+y1==（x﹣x1），
令y=0，可得：xM=∴M（﹣4，0）． 点M到直线AB的距离d=
==﹣1=﹣4．
=．
∴S△ABM=
=×=18×=．（m＞
2
0）． 令
＞1，g（t）=3t+，g′（t）=3﹣
=
＞0，因此函数g（t）在（1，+∞）
上单调递增，∴g（t）＞4． ∴S△ABM∈
．
．
∴△ABM面积的取值范围是
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、
点到直线的距离公式、不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
8．已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为2
，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，
0），B（3，2），AC1⊥AC2． （1）求椭圆E的方程及离心率；
第18页（共55页）
（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由AC1⊥AC2，可得
?
=1﹣b=0，又2c=2
2
，a=b+c，即可得出．
222
（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M，N时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明．
②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．与
22
椭圆方程联立化为：（t+3）y+2ty﹣2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明．
【解答】解：（1）∵AC1⊥AC2，C1（0，b），C2（0，﹣b），A（1，0）， ∴∵2c=2
?
=1﹣b=0，∴b=1． ，解得c=
，∴a=b+c=3． =1． ．
2
2
2
2
2
∴椭圆E的方程为离心率e==
=
（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明： ①当取M
，N
时，kMB=
=，kBP=
+
，kNB=
，
∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2×，化为：m=n+1．
②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）． 联立
，化为：（t+3）y+2ty﹣2=0，
2
2
∴y1+y2=，y1y2=
．
kMB=，kBP=，kNB=
，
∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列， ∴2×
=
+
，
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由于
+
=
=
=2，
∴=1，化为：m=n+1．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为
+
=1，直线l：y=x与椭圆E
相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．
【分析】联立，解得A（2，1），B（﹣2，﹣1）．①当CA，CB，DA，DB斜
率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；可得：k1?kCB=﹣，kCB=﹣的方程为y+1=﹣
；同理kDB=﹣
，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC
（x+2）；联立解得：点N的坐标为
；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标．可
得kMN=
=﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，
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