所以椭圆的方程为，离心率
（2）解：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组
2
2
2
2
得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0 依题意△=12（2﹣3k）＞0，得设P（x1，y1），Q（x2，y2） 则
①
②
2
由直线PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）
22
于是y1y2=k（x1﹣3）（x2﹣3）=k[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③ ∵
∴x1x2+y1y2=0④
2
由①②③④得5k=1，从而
所以直线PQ的方程为或
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
15．（2004?贵州）双曲线
=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和
（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和曲线的离心率e的取值范围．
【分析】直线l的方程是bx+ay﹣ab=0．点（1，0）到直线l的距离
．求双
，点（﹣
1，0）到直线l的距离
4
2
，．由知
．所以4e﹣25e+25≤0．由此可知e的取值范围．
【解答】解：直线l的方程为
，即bx+ay﹣ab=0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，
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同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．
由于是得由于e＞1＞0， 所以e的取值范围是
，即
4
2
．
．
，即4e﹣25e+25≤0．解不等式，得
．
【点评】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．
16．（2003?天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当为圆不符合题意；当
时和当
时，P的轨迹为椭圆符合两定点．
时，方程
【解答】解：∵=（0，a），=（1，0）， ∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．
22
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2ax．
整理得．①
因为a＞0，所以得： （i）当（ii）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
时，方程①表示椭圆，焦点
为合乎题意的两个定点；
和
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（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点
为合乎题意的两个定点．
和
【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力． 17．（2002?北京）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点． （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线； （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由A、O、B三点的坐标，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标；分
与
两种情况讨论，易得证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中（c≠0，b≠），得
，进而化简可得；结合
椭圆的方程，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0）， 可求得重心
，
外心，
垂心当当
．
时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；
时，设G，H所在直线的斜率为kGH，F，G所在直线的斜率为kFG．
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因为，
，
所以kGH=kFG，G，F，H，三点共线． 综上可得，G，F，H三点共线． （Ⅱ）解：若FH∥OB，由
，
得
配方得，即．
即．
所以，顶点C的轨迹是中心在上的椭圆，
但除去（0，0），（1，0），
，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴
，四点．
【点评】本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力；解题时，首先注意轨迹的求法及轨迹与轨迹方程的区别，其次要结合重心、垂心、外心的性质来解题．
18．（2000?天津）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当范围．
所成的比为λ，
时，求双曲线离心率c的取值
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【分析】首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记
，其中
为双曲线的半焦距，h是
梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x0和y0的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．
【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称， 依题意，记其中
为双曲线的半焦距，h是梯形的高，
，
由定比分点坐标公式得
．
，
设双曲线的方程为，则离心率，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①
．②
由①式得，③
将③式代入②式，整理得故由题设解得
得，，
，
，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．
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