【点评】本题综合考查直线的椭圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要注意培养运算能力．
12．（2005?黑龙江）P，Q，M，N四点都在椭圆
上，F为椭圆在y轴正半轴上的
焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值
和最大值．
【分析】由题设条件可知MN⊥PQ．设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，MN的方程为y=1，PQ的方程为x=0，由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为，|MN|?|PQ|=×
×2
=2．当
MN，PQ都不与坐标轴垂直时，根据题设条件能够推导出，
|PQ|=，所以S四边形
PMQN=
|MN|?|PQ|=，由此入
手结合题设条件能够导出（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=【解答】解：∵
．即MN⊥PQ．
．
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴． 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴， ∵F（0，1）
∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0
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分别代入椭圆中得：|MN|=
×2
=2
，|PQ|=2．
S四边形PMQN=|MN|?|PQ|=×
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时， 设MN的方程为y=kx+1（k≠0）， 代入椭圆∴x1+x2=∴
中得：（k+2）x+2kx﹣1=0， ，x1?x2=
2
2
同理可得：|PQ|=S四边形
PMQN=
，
|MN|?|PQ|==
（当且仅当
即k=±1时，取等号）．
又S四边形PMQN=，∴此时S四边形PMQN＜2．
综上可知：（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=
．
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【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细解答，避免错误．
13．（2005?湖北）设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由． 【分析】（Ⅰ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，代入3x+y=λ，整理得：（k+3）22
x﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）﹣λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
?3 （x1﹣x2） （x1+x2）+（y1
2
2
2
2
2
﹣y2）=0．∴kAB=﹣．∵N（1，3）是AB的中点∴kAB=﹣1．由此能够求出
直线AB的方程．
2
（Ⅱ）解法一：由题意知直线CD的方程为x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．由弦长公式可得|CD|=
2
?|x3﹣x4|=
．将直线AB的方程x+y
﹣4=0代入椭圆方程得4x﹣8x+16﹣λ=0．同理可得|AB|=x2|=
?|x1﹣
．由此可以推出存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．
解法二：由题高设条件可知λ＞12，直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得22
4x+4x+4﹣λ=0．将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x﹣8x+16﹣λ=0，由此通过计算知
?
=0，∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、
C、D四点共圆． 【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）+3，
22222
代入3x+y=λ，整理得：（k+3）x﹣2k（k﹣3）x+（k﹣3）﹣λ=0① 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个不同的根，
22
∴△=4[λ（k+3）﹣3（k﹣3）]＞0，② 且x1+x2=
2
．由N（1，3）是线段AB的中点，得x1+x2=2，
∴k（k﹣3）=k+3解得k=﹣1，代入②得λ＞12， 即λ的取值范围是（12，+∞）．
于是直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0． 解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有﹣y2）=0．
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?3 （x1﹣x2） （x1+x2）+（y1
依题意，x1≠x2，∴kAB=﹣
．
∵N（1，3）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6，从而kAB=﹣1．
22
又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×1+3=12， ∴λ的取值范围是（12，+∞）． 直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0． （Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，
2
∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣y+2=0代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．③ 又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0）， 则x3，x4是方程③的两根， ∴x3+x4=﹣1，且x0=于是由弦长公式可得|CD|=
=﹣，y0=x0+2=，即M（
?|x3﹣x4|=
2
，）
．④
将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程得4x﹣8x+16﹣λ=0．⑤ 同理可得|AB|=∵当λ＞12时，
?|x1﹣x2|=
＞
．⑥ ，
∴|AB|＜|CD|．
假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心． 点M到直线AB的距离为d=
2
=
2
2
==+
．⑦
=
=
．
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|=|MB|=d+故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|
|为半径的圆上．
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
2
A、B、C、D共圆?ACD为直角三角形，A为直角?|AN|=|CN|?|DN|， 即
=（|
|+d）（|
|﹣d）．⑧ ，
+
）（
﹣
）=
﹣
由⑥式知，⑧式左边=由④⑦知，⑧式右边=（=
．
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）
解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12， ∵CD垂直平分AB，
2
∴直线CD的方程为y﹣3=x﹣1，代入椭圆方程，整理得4x+4x+4﹣λ=0．③
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将直线AB的方程x+y﹣4=0代入椭圆方程整理得4x﹣8x+16﹣λ=0．⑤ 解③和⑤式可得x1，2=不妨设A（1+C（∴
=（=（计算可得
?
=0， ，
，，，3﹣
），D（，x3，4=
），
，）， ），
）．
，
2
∴A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点， ∴A、B、C、D四点共圆．
【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．
14．（2004?天津）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若
，求直线PQ的方程．
，由已知解得
，c=2，所以椭圆
【分析】（1）设椭圆的方程为
的方程为，离心率．
（2）由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组
得（3k+1）x﹣18kx+27k﹣6=0．依题意△=12（2﹣3k）＞0，得（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程为或． 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为
22222
．设P
由已知得解得，c=2
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