2．如图，在平面直角坐标系中，己知椭圆=1和圆x+y=4，过椭圆左顶点A的两条
22
直线分别交椭圆与圆于点B，E和点C，F，若AC⊥AF，直线BE和CF在x轴上的截距分
别为s，t，求证：s+t为定值．
【分析】设直线AB的方程为：y=k（x+2），由于AB⊥AE，可得直线AE的方程为：y=﹣（x+2）．分别与椭圆方程联立可得点B，E的坐标，可得直线BE的方程，即可解得．由于AC⊥AF，可得CF必然经过原点，可得t=0． 【解答】证明：设直线AB的方程为：y=k（x+2），∵AB⊥AE，∴直线AE的方程为：y=﹣（x+2）．
联立
，解得xB=，yB=
．
同理可得：xE=，yE=
．
∴直线BE的方程为：y+=，
令y=0，解得s=﹣．
∵AC⊥AF，∴CF必然经过原点，∴t=0． ∴s+t=﹣为定值．
【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 3．设椭圆
+y=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于
2
A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k1，、k2． （1）当PQ⊥x轴时，求
；
第11页（共55页）
（2）求证：k1?k2等于定值．
【分析】（1）解：当PQ⊥x轴时，﹣2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：
+y=1，解
2
得y．再利用数量积运算性质即可得出． （2）设直线PQ的方程为：ty=x﹣m，（﹣2≤m＜2）．P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程
222
联立可得：（t+4）y+2tmy+m﹣4=0，利用斜率计算公式及其根与系数的关系代入k1?k2=
，即可证明．
【解答】（1）解：当PQ⊥x轴时，﹣2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：+y=1，解
2
得y=±．
不妨设P，Q．A（2，0）．
则=?=（m﹣2）﹣
2
=．
（2）证明：设直线PQ的方程为：ty=x﹣m，（﹣2≤m＜2）．P（x1，y1），Q（x2，y2）． 联立
，化为：（t+4）y+2tmy+m﹣4=0，
2
2
2
y1+y2=﹣，y1y2=
．
第12页（共55页）
k1?k2=
==
=．
由于上式与斜率无关系，因此是定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
4．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x+y=a被直线x﹣y﹣
2
2
2
=0
截得的弦长为2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知k≠0，动直线y=k（x﹣1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得理由．
【分析】（1）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点（0，1），代入解得b=1．由于圆x+y=a
2
2
2
2
为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明
被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2，可得2=2，解得a．即可得出．
2
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，利用根与系数的关系代入+y1y2=m+
2
2
2
2
=（x1﹣m）（x2﹣m）
，令1﹣4m=﹣4，即可得出．
【解答】解：（1）∵椭圆C：
2
2
2
+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），∴=1，解得b=1．
2
∵圆x+y=a被直线x﹣y﹣∴椭圆C的标准方程为
=0截得的弦长为2，∴2=1．
=2，解得a=2．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）． 联立
，化为：（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0，
2
2
2
2
∴x1+x2=
，x1x2=
．
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∴
2
=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2
2
2
2
=（k+1）x1x2﹣（m+k）（x1+x2）+m+k =
﹣
2
+m+k=m+
222
，
令1﹣4m=﹣4，即m=时，点M
．
=m﹣2=﹣为定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与
系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
5．已知椭圆C：
（a＞b＞0）过点（1，
），它的两个短轴端点与右焦点构成等边
三角形，点A在椭圆C上运动，点B在直线l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O
为原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若点O到直线AB的距离为定值，求m的值及|AB|的最小值． 【分析】（I）由题意可得：
=1，c=
b，与a=b+c联立，解出即可得出；
2
2
2
（II）取A（2，0），则B（0，m），m＞0，此时原点到直线AB的距离d=．取A（，
），同理可得：此时原点到直线AB的距离d=．利用=，m＞0，
解得m=．可得直线l的方程．设B（t，），A（2cosθ，sinθ）．θ=0时，可得|AB|=
x，可得：B
．θ≠0，
时，设直线AO的方程为：y=xtanθ，则OB的方程为：y=﹣（
，
）．利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用三角函数求值、基本不
等式的性质即可得出． 【解答】解：（I）由题意可得：c=
．
．
．
=1，c=
b，与a=b+c联立，解得a=2，b=1，
2
2
2
∴椭圆C的方程为：
（II）取A（2，0），则B（0，m），m＞0，此时原点到直线AB的距离d=
第14页（共55页）
取A（，），直线OB的方程为：y=﹣2x，则B（，m），此时原点到直线
AB的距离d==．
∴d==，m＞0，解得m=．
∴直线l的方程为：y=设B（t，θ=0时，|AB|=θ≠0，（∴|AB|=
．
），A（2cosθ，sinθ），
=
．
x，可得：B
时，设直线AO的方程为：y=xtanθ，则OB的方程为：y=﹣
，
）．
=
=
，
2
令cosθ=t∈（0，1），则|AB|=≥=2，当且仅当t=时取等号．
∴|AB|的最小值为2．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点到直线的距离公式、三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
6．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为
，过点F
的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线x=﹣2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程． 【分析】（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：
2
，解得y，可得|MN|=
2
2
，
2
利用△AMN的面积联立解出即可得出．
=，化为：2b（a+c）=（2+a），与，a=b+c
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