习题7
7-1．如图所示的弓形线框中通有电流，求圆心处的磁感应强度。
解：圆弧在O点的磁感应强度：
，方向：
；
直导线在O点的磁感应强度：；
，方向：
∴总场强：，方向
。
7-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心
O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。
（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当
时，O点处的磁场最为均匀。
解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：。
（1）左线圈在x处点产生的磁感应强度：，
右线圈在x处
和
点产生的磁感应强度：，
方向一致，均沿轴线水平向右，
∴点磁感应强度：；
（2）因为随变化，变化率为，若此变化率在处的变化最缓慢，则O
的各
点处的磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随变化情况，即对阶导数进行讨论。 对求一阶导数：
当时，，可见在O点，磁感应强度有极值。
对求二阶导数：
当时，，
可见，当时，，O点的磁感应强度有极小值，
当时，，O点的磁感应强度有极大值，
当时，看成匀强磁场。
，说明磁感应强度在O点附近的磁场是相当均匀的，可
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中部分是在
点的磁感应强度。
求得，
平面内半径为的半圆，试求通以电流时解：∵a段对O点的磁感应强度可用
有：，∴点，
，
b段的延长线过
c段产生的磁感应强度为：，∴
则：O点的总场强：，方向如图。
7-4．在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流
自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小。
解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为
的长直电流，
有：，利用。
在P点处的磁感应强度为：，
∴，而因为对称性，
那么，。
7-5．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（）。
解：利用安培环路定理分段讨论。
（1）当时，有：
∴；
（2）当时，有：，∴；
（3）当时，有：，
∴（4）当
； 时，有：
，∴
。
则：
7-6．一边长为l=0.15m的立方体如图放置在均匀磁场中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六面的总磁通量。 解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为
（2）由于立方
体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理，上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。