第十二章 线性回归分析
练习题
一、最佳选择题
1．SY,X表示( )。
?对Y的离散程度 C．Y和X的离散程度 Ａ．Ｙ的离散程度 B．Y?的离散程度 Ｅ．X的离散程度 D．Y对Y2. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的（ ）。
A． 纵向距离之和最小 B．纵向距离的平方和最小 C．垂直距离之和最小 D．垂直距离的平方和最小确 E．纵向距离的平方和最大
3． Y＝14＋4X 是1－7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重 换成国际单位kg，则此方程（? ）。
A． 截距改变 B． 回归系数改变 C． 两者都改变 D．两者都不改变 E．相关系数改变
4．直线回归系数假设检验，其自由度为（ ）。
A. n B. n-1 C. n-2 D. 2n-1 Ｅ. 2(n-1)
? 5. 当r＝0时，Y＝a＋bX 回归方程中（ ）。
A．a必大于零 B．a必等于X C．a必等于零 D．a必等于Y E．a必等于b
6．在多元线性回归分析中,应变量总离均差平方和可以分解为回归平方和与残差平方和 两部分，试回答残差系指 ( )。
?之差 A．观察值Yi与估计值Yi B．观察值Yi与平均值Y之差
?与平均值Y的平方和之差 C．估计值YiD．观察值Yi与平均值Y之差的平方和
?之差的平方和 E．观察值Yi与估计值Yi
二 、问答题
1．用什么方法考察回归直线是否正确？
2．简述回归系数方差分析Y的平方和自由度的分解。
3．简述回归分析中Y的标准差SY与剩余标准差SY,X的区别和联系。
4． 简述SY?与SY的区别。
05．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？ 6．直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？ 7．简述曲线回归常用的几种曲线形式。 三、计算题
1．一个产科医师发现孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有关，并且两者之间成正相关。现收集了31例待产妇24小时的尿，测量其中的雌三醇含量，同时记录产儿的体重。结果如下表，求直线回归方程并对回归系数作假设检验。
待产妇尿中雌三醇含量与新生儿体重关系
编号 尿雌三醇 新生儿体重 编号 尿雌三醇 新生儿体重 （mg/24h） （kg ） （mg/24h） （kg） （1） (2) (3) （4） (2) (3) 1 7 2.5 17 17 3.2 2 9 2.5 18 25 3.2 3 9 2.5 19 27 3.4 4 12 2.7 20 15 3.4 5 14 2.7 21 15 3.4 6 16 2.7 22 15 3.5 7 16 2.4 23 16 3.5 8 14 3.0 24 19 3.4 9 16 3.0 25 18 3.5 10 16 3.1 26 17 3.6 11 17 3.0 27 18 3.7 12 19 3.1 28 20 3.8 13 21 3.0 29 22 4.0 14 24 2.8 30 25 3.9 15 15 3.2 31 24 4.3 16 16 3.2
2．为探讨某地饮水中氟含量与氟骨症的关系，试对测量得到的下列8对数据进行直线相 关分析 。
氟含量（mg/L）X： 0.47 0.64 1.00 1.47 1.60 2.86 3.21 4.71
患 病 率（％）Y： 22.37 23.31 25.32 22.29 28.57 35.00 46.07 46.08
（1）按此资料绘制散点图？
（2）求直线回归方程并对回归系数作假设检验。
（3）试估计氟含量为2.00 mg/L时，患病率平均增加多少，计算其95％的可信区间，并 说明其含义。
（4）求氟含量为2.00 mg/L时，患病率Y值的95％的容许范围，并解释其含义。
练习题参考答案
一、最佳选择题：
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A
二 、问答题
1．答：用以下三种方法判定： （1）直线必须通过点（X，Y）。
（2）若纵坐标、横坐标无折断号，将此线左端延长与纵轴相交，焦点的纵坐标必等于截距a。
（3）直线是否在自变量X的实测范围内。
2．答：SS总即（Y－Y），为反应变量Y的离均差平方和，表示在未考虑X与Y的回归关系时Y的变异，可分解为两部分的变异，一部分为回归平方和，另一部分为剩余平方和，分别用SS回和SS剩表示。这三个平方和，各有其相应的自由度?，其关系为：
?2?总＝?回＋?残，
?总?n?1，?回＝1，?残＝n-2。
3．答：SY表示在总体中，当X为某一定值时，个体Y值的波动范围。而剩余标准差
SY,X是指当X对Y的影响被扣除后，Y方面仍有变异。这部分变异与X无关，纯属抽样变
异。当X与X接近且充分大时，可用SY,X代替SY。
4．答：Y是X对应Y的总体均数的一个样本估计值，S?是反映其抽样误差大小的标
Y?准误，其计算公式为S??SYXY(x0?X)211(x0?X)2??SYX?；SY0是反映个体Y2n?(X?X)nlXX?值的容许区间大小的，也就是说当总体中X为某定值时，Y值由于随机误差影响在Y0上下波动的范围的大小就取决于标准差SY0，其计算公式为
SY0?SYX(x0?X)211(x0?X)21???SYX1??。
n?(X?X)2nlXX5．答：步骤如下：
（1）根于研究目的确定预报因子（X）和预报量（Y），由X估计Y值，收集资料。 （2）建立预报方程Y?a?bX，并进行回归系数假设检验。若P小于检验水准，则回归方程成立。
（3）根据回归方程在X实测范围内对Y进行预测，并计算X为某定值时，个体Y值波动范围（容许区间）。例如：1－7岁儿童，X为年龄，Y为体重，可根据年龄预测（估
?计）体重。
统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量Y值在一定范围内波动，可以通过控制自变量X的取值来实现。步骤同前。例如：针刺哑门穴，进针深度Y与颈围X间存在直线关系，可根据X取值达到控制Y的目的。
6．答：
（1）Ⅰ型回归中，X为精密测定和严格控制的变量，Y为正态变量。表示原因的为
X，表示结果的为Y。
（2）Ⅱ型回归中，X、Y均为服从正态分布的随机变量，互为因果，可计算两个回归方程。何者为X，何者为Y，根据研究目的确定。如身高、体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定X为身高，Y为体重。
7．答：曲线回归常用的几种曲线形式有： （1）指数函数（Y?e(a?bX)），当b＞0时，Y随X上升而上升；当b＜0时，Y随
X上升而下降。
（2）幂函数（Y?aX），当b＞0时，Y随X上升而上升；当b＜0时，Y随X上升而下降。
（3）对数函数（Y?a?blnX），当b＞0时，Y随X上升而上升，先快后慢；当b＜0时，Y随X上升而下降，先快后慢。
（4）logistic函数（Y?b1），当b＞0时，Y随X上升而下降；当b＜0时，a?bX1?eY随X上升而上升。
三、计算题 1．解： （1）计算获得：
?X?534，?X2?9876，?Y?99.2，?Y2?324.8，?XY?1750，
X?3.2，Y?17.23
534?99.2X?XY?Y?1750??41.20 ?????31??X?X?25342?9876??677.42
31X?X??Y?Y??412???0.061 代入公式：b?677.42X?X???a?Y?bX?3.2?0.061?17.23?2.15
??a?bX?21.5?0.061X Y（2）回归系数假设检验：
H0:??0，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有直线关系
H1:??0，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重无直线关系 ??0.05
由上面的计算结果：
??X?X?2?677.42，??Y?Y??6.74，??X?X??Y?Y??4.12
241.22?6.74??4.23 ?677.424.230.38?0.15 SX.Y??0.38，Sb?31?2677.420.61?4.14 所以，t?0.15自由度v?31?2?29，查t值表，t0.01/2,29?2.756，P?0.01，按??0.05检验水
??Y?Y?2准，拒绝H0，认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与产儿体重之间存在线性回归关系。
2．解：
(1) 散点图如下
5045403530252015105000.511.522.533.544.55氟含量（mg/L）氟含量与患病率的散点图患病率（%） (2) 由原始数据及散点图初步分析，估计本资料有直线趋势，故作下列计算
?X?15.96，?X?47.02，X?2.00
?Y?249.01，?Y?8468.78，Y?31.13，?XY?594.25
??X??47.02?15.96?15.18
l??X?n8??Y??8468.78?249.01?718.03
l??Y?n822222XX222YY