【百度参赛】《三角函数的图像及性质复习教案》 教学设计方案 设计者：郝春菊
设计者单位：通榆县实验高中
一、教学内容概括 1、《三角函数的图像及性质》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时.
2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、教学目标分析
1、知识与技能：（ 1）．能画出y=sin x, y=cos x的图像，了解三角函数的周期性； （2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点及奇偶性等）；
（其中A?0，??0）（3）．函数y?Asin(?x??)?B图像性质及常见问题的处理方
法
2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。
教 学 重 点：使学生掌握三角函数图像及性质，并能应用解决问题 教学难点、关键：正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合
教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时
三 导言：预测2011年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换； 一、复习提问：
1、什么叫做正弦函数，余弦函数？定义域，值域各是什么？ http://baike.http://www.wodefanwen.com//view/536305.htm http://baike.http://www.wodefanwen.com//view/536314.htm
2、正弦函数，余弦函数都有那些性质？正弦函数，余弦函数图像如何？
http://www.gsres.cn/upfiles/ztjj/jyrjdjs/11/gzkj/015.ppt#321,3,幻灯片 3 二、新课 要点精讲 1、图像
y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x
y=cosx-4?-7?2-5?-3?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x
2、三角函数的单调区间：
http://zhidao.http://www.wodefanwen.com//question/179613255.html
（其中A?0，??0）3、函数y?Asin(?x??)?B
最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是
直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点
的横坐标变为原来的
倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象。 ?途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
11?倍(ω＞0)，再沿x轴向左(?＞0)或
向右(?＜0＝平移
|?|?5．由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式：
个单位，便得y＝sin(ωx＋?)的图象。
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ．．
6．对称轴与对称中心：
y?sinx的对称轴为x?k???2??，
，对称中心为(k?,0) k?Z；
?2y?cosx的对称轴为x?k?，对称中心为(k??,0)；
对于y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、?的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“y?Asin(?x??)、y?Acos(?x??)”的形式，在利用周期公
式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y=Asin（ωx+?）的简图：
五点取法是设x=ωx+?，由x取0、
π2、π、
3π2、2π来求相应的x值及对应的y值，
再描点作图。 四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，
?2）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。
例2．（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）
解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选
项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型2：三角函数图象的变换
例3．试述如何由y=sin（2x+
31π3）的图象得到y=sinx的图象。
解析：y=sin（2x+
3横坐标扩大为原来的纵坐标不变1π3）
13sin（x?π3）
???????????y?2倍π个单位1??????3????y?sinx纵坐标不变3图象向右平移
???????????y?sinx横坐标不变纵坐标扩大到原来的3倍另法答案：
（1）先将y=sin（2x+
31π3）的图象向右平移
π6个单位，得y=sin2x的图象；
31（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的
3311图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到
31y=sinx的图象。
例4．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0
解析：将原方程整理为：y=
?2个单位，再沿y12?cosx1，因为要将原曲线向右、向下分别移动
?2个单
位和1个单位，因此可得y=
2?cos(x??2－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
)点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－
?2）+2（y+1）－1=0，即得C选项。
例5．已知电流I与时间t的关系式为I?Asin(?t??)。 （１）右图是I?Asin(?t??)（ω＞0，|?|?在一个周期内的图象，根据图中数据求
I?Asin(?t??)
?2）
I300的解析式；
（２）如果t在任意一段
1150秒的时间内，电流
-1900o1180t-300I?Asin(?t??)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正
整数值是多少？
解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A＝300。
设t1＝－
1900，t2＝
1180，
1180则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋
1900）＝
175。
∴ ω＝又当t＝而|?|?2?T1＝150π。
时，I＝0，即sin（150π·
?61180180＋?）＝0，
?2， ∴ ?＝。
?6)。 1150故所求的解析式为I?300sin(150?t?（２）依题意，周期T≤
1150，即
*
2??≤，（ω>0）
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N，
故最小正整数ω＝943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
例6．（1）（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+?）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A=2，T=
72π－（－
?2）=4π，
图 ，
∴ω=
12，∴y=2sin（
x2+?），又由图象可得相位移为－
?2∴－
?12=－
?2，∴?=
?4.即y=2sin（
12x+
?4）根据条件3=2sin（
12x??4），∴
12x??4=2kπ+
?3(k∈Z)或
12x??4=2kπ+
23π（k∈Z），
∴x=4kπ+
?6（k∈Z）或x=4kπ+
56π（k∈Z）。
∴所有交点坐标为（4kπ+
?6,3）或（4kπ+
5?6（k∈Z）。 ,3）
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 例7．求下列函数y=
12sin（
1π4－
2x323）的单调区间； x－
π41分析：要将原函数化为y=－
解：（1）y=
12π2sin（
2x3）再求之。
2x3sin（－
4）=－sin（
2－
π4）。
故由2kπ－
?3kπ－
3π8π2≤
2x3－
π4≤2kπ+
9π8π2。
≤x≤3kπ+
2x3（k∈Z），为单调减区间；
3π2由2kπ+
?3kπ+
π29π8≤－
π4≤2kπ+
21π8。
≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。
9π8∴递减区间为［3kπ－
3π8，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+ ，3kπ+ ］（k∈Z）。
五 小结：
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。
2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。
3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。
作业：把自己的作业题签认真加以做好，补充所缺欠的知识点。 板书设计：
§课题 六、
一．正弦函数，余弦函数形式及图像；
二．典型例题及解题方法；
三．小结：解题方法归纳。
七、 总结与反思：反思学习过程，对研究正弦函数，余弦函数的图像，性质，进行概括，深化认识。三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象，也可以从已学过的指数函数，对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系。