北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）若a，b?R，i是虚数单位，且a?(b?2)i?1?i，则a?b的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若集合A?{0,m2}，B?{1,2}，则“m?1”是“A?B?{0,1,2}”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
?y?x?1,?（3）若实数x，y满足不等式组?y?x?2,则z?x?2y的最小值为
?y?0,? （A）?
（4）右图给出的是计算
75 （B） ?2 （C）1 （D）
2211111????...?的一个程序框图， 2468100 其中判断框内应填入的条件是
（A）i?50 （B）i?50 （C）i?25 （D） i?25
（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个
车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为
（6）已知x，y，z?R，若?1，x，y，z，?3成等比数列，则xyz的值为 C
（7）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB?AD，AB?4，BC?2，AD?4，若P为CD的 （A）?3
（B）?3
（C）?33 （D）?33 （A）16
（B）18
（C）24
（D）32
????????中点，则PA?PB的值为
- 1 -
（A）?5 （B）?4 （C）4 （D）5
?2?x?1,x?0,（8）已知函数f(x)??若方程f(x)?x?a有且只有两个不相等的实数根，
?f(x?1),x?0.则实数a的取值范围是
（A）???,1? （B）???,1? （C）?0,1? （D）?0,???
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）命题“?x0?(0,),tanx0?sinx0”的否定是 . （10）在极坐标系中，圆??2的圆心到直线?cos???sin??2的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；
若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．
?2甲乙0 7 95 4 5 5 184 4 6 4 7m 9 3（12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB延长线交于点C，若
CD?3，CB?1，则?ADE= ．
2ED（13）抛物线y?x的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点M(1,1)，且 与准线相切的圆共有 个．
（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时针旋转?角(0≤?≤AOBC?)到AB1C1D的位置 ，同时点M沿着AD从点A运动到3???????????????1点D，MN1?DC1，点Q在MN1上，在运动过程中点Q始终满足QM?，记
cos???????????CABCDBM点Q在面上的射影为Q0，则在运动过程中向量BQ0与夹角?的正N1切的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
- 2 -
B1Q1DMAQ0BC（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y?g(x)的图象是由y?f(x)的图象向右平移
单位长度得到的，当x?[0, （16）（本小题共13分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
（17）（本小题共13分）
如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE?FC?CP?1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B成直二面角，连结A1B，A1P.（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.
A
A1 E FE
F
BB PCP
图1 图2
?个单位长度，再向上平移1个8?]时，求y?g(x)的最大值和最小值. 4C- 3 -
(18)（本小题共14分）
已知函数f(x)?12x?2ex?3e2lnx?b在(x0,0)处的切线斜率为零． 2（Ⅰ）求x0和b的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立； (Ⅲ) 若函数F(x)?f?(x)?a有最小值m，且m?2e，求实数a的取值范围. x
（19）（本小题共13分）
1x2y2B已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，
2ab为短轴的端点，△A1BA2的面积为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1P，A2P1，A2的任意一点，直线A与直线x?4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．
（20）（本小题共14分）
若对于正整数k,g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)?3，g(10)?5.设
Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)???g(2n)．
（Ⅰ）求g(6),g(20)的值； （Ⅱ）求S1，S2，S3的值； （Ⅲ）求数列?Sn?的通项公式．
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北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）?x?(0,?2),tanx?sinx （10）2 （11）84 乙
（12） 60? （13） x??14 2 （14）612 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x
?sin4x?cos4x
?2sin(4x??4) , ????6分
所以函数f(x)的最小正周期为?2. ????8分
（Ⅱ）依题意,y?g(x)?2sin[4(x???8)?4]?1
?2sin(4x??4)?1. ???10分
因为0?x??4，所以??4?4x??4?3?4. ????11分 当4x??4??2，即x?3?16时，g(x)取最大值2?1； 当4x??4???4，即x?0时， g(x)取最小值0. ????13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，?3. ????2分 P(X?10)?0.8?0.9?0.72， P(X?5)?0.2?0.9?0.18 ， P(X?2)?0.8?0.1?0.08
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