X0,1,2，
111P,,3332求Y?X的分布列。
（2）X是连续型随机变量
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
?2?(3x?1),0?x?1例2．19：已知随机变量X~f(x)??5，求Y?lnX的密度函数fY(y)。
?0,其他?
第二节 练习题
1、常见分布
例2．20：一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号
码，试求X的概率分布。
例2．21：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A xe7?x22，x>0,则A= 。
例2．22： f1(x)?f2(x)是概率密度函数的充分条件是： （1）f1(x),f2(x)均为概率密度函数 （2）0?f1(x)?f2(x)?1
例2．23：一个不懂英语的人参加GMAT机考，假设考试有5个选择题，每题有5个选项（单选），试求：此人答对3题或者3题以上（至少获得600分）的概率？
例2．24：设随机变量X~U（0，5），求方程4x?4Xx?X?2?0有实根的概率。 例2．25：设随机变量X的概率密度为
2?1?3,??f(x)??2,?9???0,其使得P(X?k)?x?[0,1]x?[3,6] 其他。
2，则k的取值范围是 3 例2．26：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了900小时而未损坏的概率是
e?0.9，则该种电子元件的平均寿命是
A． 990小时 B． 1000小时 C． 1010小时 D． 1020小时
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例2．27：设随机变量X的概率密度为：?(x)?1?|x|e,(???x???)则其分布函数F(x)是 2?1xe,??2（A）F(x)?????1,x?0,
x?0.?1x?2e,?（B）F(x)???1?x?1?2e??1?x?1?2e,?（C）F(x)???1,???1?x?2e,??1（D）F(x)??1?e?x,?2???1,x?0,
x?0.x?0,
x?0..x?0,0?x?1, x?1.x??1??)=，则α＝？
2
[
]
例2．28：X~N(1,4)，Y~N(2,9)，问P(X≦-1)和P(Y≧5)谁大？ 例2．29：X~N(μ,σ)，μ≠0，σ>0，且P(
2
?2、函数分布
例2．30：设随机变量X具有连续的分布函数F(x)，求Y=F（X）的分布函数F（y）。 （或证明题：
设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。） 例2．31：设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数fY(y)= . 例2．32：设X~U??????,?，并且y=tanx，求Y的分布密度函数f(y)。 22??例2．33：设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数
（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点
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第三章 二维随机变量及其分布
第一节 基本概念
1、二维随机变量的基本概念
（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称?为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）
设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称
P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?)
为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 ? ? ? ? ? yj p1j p2j ? ? ? pi2 p12 p22 x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? ? ? ? pi2 ? p2j ? p21 ? p22 ? p2j ? ? ? 1 这里pij具有下面两个性质： （1）pij?0（i,j=1,2,?）； （2）
??ijpij?1.
对于随机向量（X，Y），称其分量X（或Y）的分布为（X，Y）的关于X（或Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为
P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?)，
则X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)?Y的边缘分布为 P?i?P(Y?yi)??jipij(i,j?1,2,?)； pij(i,j?1,2,?)。
?例3．1：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X 1 2 -1 0 0 1 0 0 2 0 p12 1 61 61 61 6- 18 -
1 61 23 p2j 0 0 1 31 61 61 61 61 31 31
（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布
对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a P{(X,Y)?D}???f(x,y)dxdy, D则称?为连续型随机向量；并称f(x,y)为?=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)?0; （2） ??????????f(x,y)dxdy?1. ????一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X和Y的边缘分布密度为 fX(x)??注意：联合概率分布→边缘分布 例3．2：设（X，Y）的联合分布密度为 ??f(x,y)dy，fY(y)????f(x,y)dx. ?Ce?(3x?4y),?f(x,y)???0,?试求：（1）常数C； （2）P{0 （3）X与Y的边缘分布密度fX(x),fY(y). x?0,y?0, 其他（3）条件分布 当（X，Y）为离散型，并且其联合分布律为 P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?), 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y?yj|X?xi)?pijpi?, 其中pi?, p?j分别为X，Y的边缘分布。 当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)?在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(x,y) fY(y)f(y|x)?f(x,y) fX(x)- 19 - 其中fX(x)?0,fY(y)?0分别为X，Y的边缘分布密度。 例3．3： 设二维随向量（X，Y）的联合分布为 X Y 2 5 8 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 求 （1）X与Y的边缘分布； （2）X关于Y取值y1=0.4的条件分布； （3）Y关于X取值x2=5的条件分布。 （4）常见的二维分布 ①均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D 其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 x 图3.1 y 1 D2 O 2 x 1 图3.2 y d D3 c O a b x - 20 -