??E(X)????xf(x)dx
例4．3：设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以分钟计）是一个随机变量，其概率密度为
x??(1500)2???3000?x?f(x)??(1500)2??0????求EX。
③数学期望的性质 （1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(0?x?15001500?x?3000
其他?CX)??CE(X)
iiiii?1i?1nn（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （5） Y=g(X)
离散：E(Y)??g(xi?1nk)pk
?? 连续：E(X)??????xf(x)dx
E(Y)????g(x)f(x)dx
例4．4：将一均匀骰子独立地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。 例4．5：设离散型随机变量X的分布律为
X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 试求：（1）EX2
（2）X2的分布律
（2）方差
D(X)=E[X-E(X)]2，方差
?(X)?D(X)，标准差
①离散型随机变量
- 26 -
D(X)??[xk?E(X)]2pk
k②连续型随机变量
??D(X)??[x?E(X)]2f(x)dx
??③方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
22例4．6：X服从N(?1,?12)，Y服从N(?2,?2)，且X,Y相互独立，证明X+Y服从N(?1??2,?12??2)。
类似的，n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布N(?,?2)。
???Ci?i， ?2??Ci2?i2
ii
例4．7：设X的均值、方差都存在，且D（X）≠0，求Y?例4．8：设随机变量X的概率密度为
X?E(X)D(X)的均值与方差。
f(x)?求E（X）及D（X）。
例4．9：设随机变量X的概率密度为
1?|x|e2(???x???),
?4xe?2xf(x)???0x?0 x?0试求：D（2X-1）
（3）常见分布的数学期望和方差 分布名称 0-1分布 二项分布 泊松分布 符号 均值 p np 方差 B(1,p) B(n,p) P(?) G(p) p(1?p) np(1?p) ? 1 p- 27 -
? 1?p 2p几何分布 超几何分布 H(n,M,N) nM Na?b 21nM?M??N?n??1???? N?N??N?1?(b?a)2 121 2?均匀分布 U(a,b) 指数分布 正态分布
①0－1分布
X E(X)=p，D(X)=pq
0 q e(?) ? N(?,?2) ? ?2 1 p kkn?k②二项分布 X~B(n,p)，Pn(k)?Cn（k=0,1,2?n） pq，
E(X)=np，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)=E(X)= λ， D(X)= λ
kn?kCMCN?M④超几何分布 P(X?k)? nCN?ke?x
k!
，k=0,1,2?
E(X)=
nM Nk?1⑤几何分布 P(X?k)?pqE(X)=
⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)=
，k=0,1,2?
1q， D(X)=2 pp1，[a, b ] b?aa?b(b?a)2E(X)=， D(X)=
212
⑦指数分布 f(x)= ?e??x，(x>0)
- 28 -
E(X)=
1?， D(X)=
1 ?212???(x??)22?22
⑧正态分布 X~N(μ,σ)，f(x)?e
E(X)= μ， D(X)= σ
例4．10：罐中有5颗围棋子，其中2颗为白子，另3颗为黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次数X的数学期望与方差。
例4．11：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？ 例4．12：设随机变量X服从参数为λ＞0的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，求λ。 例4．13：设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E（X-3e-2x）。 例4．14：设（X，Y）服从区域D={（x,y）|0?x?1, 0?y?1}上的均匀分布，求E（X+Y），E（X-Y），E（XY），D（X+Y），D（2X-3Y）。
2
2、二维随机变量的数字特征
（1）协方差和相关系数
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即
?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))].
与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
?XYD(X)D(Y)为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。
完全相关?而当??0时，称X与Y不相关。 与相关系数有关的几个重要结论 （i） （ii） （iii）
|?|?1，当|?|=1时，称X与Y安全相关：
?正相关，当??1时，?负相关，当???1时，
若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。
22若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?），则X与Y相互独立的充要条件是??0，即X和Y不相关。
以下五个命题是等价的：
- 29 -
①?XY?0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
例4．15：设D（X）=25，D（Y）=36，?XY?0.4。求D（X+Y）及D（X-Y）。
（2）二维随机变量函数的期望
???G(xi,yj)pij，(X,Y)为离散型；?ij?????E[G(X,Y)]??
(X,Y)为连续型。???G(x,y)f(x,y)dxdy，??－?－?
（3）原点矩和中心矩
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
k
uk=E(X), k=1,2, ?.
于是，我们有
??xikpi??iuk?????xkp(x)dx,?????当X为离散型时，
当X为连 续型时.②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为?k，即
?k?E(X?E(X))k,k?1,2,?.
于是，我们有
??(xi?E(X))kpi??iuk?????(x?E(X))kp(x)dx,?????当X为离散型时，
当X为连 续型时.③对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为ukl，即
ukl?E[(X?E(X))k(Y?E(Y))].
第二节 练习题
1、一维随机变量及其函数的数字特征
例4．16：设连续型随机变量X的概率密度函数是
?ax2?bx?c0?x?1 f(x)??0其他?且已知EX=0.5, DX=0.15，求系数a, b, c。
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