作法:
(1)过点B作岸边的垂线,在垂线上截取 BA′,使BA′与河宽相等.
(2)连结AA′交岸边b于M.
(3)过M作MN∥A′B交岸边a于N. (4)连结BN.
则桥应建在MN的位置上,才能使A村经过这座村到B村的路程最短.
其理由如下:
BA村到B村的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+A′M=AA′+MN. 由两点之间,线段最短可知AA′最短,MN长度不变. NA'所以桥建在MN位置上,A村到B村的路程最短.
a提示:
因要建的桥有一定的长度,我们可先把桥平移到点A或
Mb点B处,?然后就把这道题中的河的两岸缩为一条直线,如本A题的作法,把桥平移到BA′处,?把河两岸缩为直线b,根据两点之间线段最短,连结AA′交直线b于M,而后再把桥移回,?得到了本题的结论.
⑶、如图 ，ABCD是一块釉面砖，居室装修时
需要一块梯形APCD的釉面砖，且使∠APC＝120o.请在长方形AB边上找一点P，使 ∠APC＝120o.然后把多余部分割下来，试着叙述怎样选取P点及其选取P点的理由. 解：作法：
以C为顶点，CD为一边，在∠DCB内画∠DCP＝60°，交AB于P， 则P点为所选取的点.
证明：∵ABCD是长方形（已知）
∴ AB∥CD（长方形的对边平行） ∴∠DCP + ∠PAC ＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DCP＝60°（所作）
∴∠PAC ＝180°-∠DCP
＝180°-60° ＝120o
⑷、将字母A按箭头所指的方向,平移3㎝,
作出平移后的图形. 解：作法：如图所示
P ①在AF截取 AA′＝3㎝
②分别过B、C、D、E各点作BB′∥AF、CC′∥AF、 A′ DD′∥AF、EE′∥AF
③在BB′、CC′、DD′、EE′依次截取BB′＝CC′＝DD′F＝EE′＝3㎝ B′ C′
D′ E′
④分别连接A′D′、A′E′、B′C′
则该图即为所求作的图形。
2、根据题意填空（每小题5分，共10分）
⑴ 如图，已知直线EF与AB、CD都相交，AB∥CD， 求证：∠1=∠2.
证明：∵EF与AB相交( 已知 )
∴∠1=∠3 ( 对顶角相等 ) ∵AB∥CD ( 已知 )
∴∠2=∠3 ( 两直线平行，同位角相等 ) ∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
⑵ 已知，如图，AD∥BC，∠BAD=∠BCD， 求证：AB∥CD.
证明：∵AD∥BC(已知)
∴∠1=( ∠2 ) ( 两直线平行，内错角相等 ) 又∵∠BAD=∠BCD ( 已知 )
∴∠BAD－∠1=∠BCD－∠2( 等式性质 ) 即：∠3=∠4
∴ AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )
3、计算（每小题5分，共10分）
⑴ 如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b,若∠1=118°求∠2为多少度?
解：∵ ∠1+∠3=180°(平角的定义)
又 ∵∠1=118°(已知) ∴∠3= 180°－∠1 = 180°－118°= 62° ∵a∥b (已知) ∴∠2=∠3=62°( 两直线平行，内错角相等 ) 答：∠2为62°
⑵ 已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，
求 这个角的度数等于多少度？
解：设这个角的余角为x，那么这个角的度数为(90°－x)，这个角的补角为(90°+x),这个角的余角的
补角为(180°－x) 依题意，列方程为：
180°－x=12(x+90°)+90°
解之得：x=30° 这时，90°－x=90°－30°=60°. 答：所求这个的角的度数为60°. 另解：设这个角为x，则：
180°－（90°－x）－12(180°－x) = 90°
解之得： x=60° 答：所求这个的角的度数为60°.
4、猜想说理（每小题5分，共30分）
⑴、已知:如图,DA⊥AB,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD, 且∠1+∠2=90°.试猜想BC与AB有怎样的位置关系， 并说明其理由
解: BC与AB位置关系是BC⊥AB 。其理由如下：
∵ DE平分∠ADC, CE平分∠DCB (已知), C ∴∠ADC=2∠1, ∠DCB=2∠2 (角平分线定义). D2∵∠1+∠2=90°(已知)
1∴∠ADC+∠DCB = 2∠1+2∠2
= 2(∠1+∠2)=2×90° ＝ 180°. AEB∴ AD∥BC(同旁内角互补,?两直线平行).
∴ ∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵ DA⊥AB (已知) ∴ ∠A=90°(垂直定义). ∴∠B=180°-∠A = 180°-90°＝90°
∴BC⊥AB (垂直定义).
提示:①垂直定义既可以作为垂直的性质,也可以作为垂直的判定. ②利用角平分线定义时根据实际情况来选择倍分关系. ③正确运用平行线的性质和识别方法.
⑵ 、已知:如图所示,CD∥EF,∠1=∠2,. 试猜想∠3与
∠ACB有怎样的大小关系，并说明其理由 A
解: ∠3与∠ACB的大小关系是∠3＝∠ACB，其理由如下：
G3∵ CD∥EF (已知),
1DE∴∠2=∠DCB(两直线直行,同位角相等).
2又∵∠1=?∠2 (已知),
CFB∴ ∠1=∠DCB (等量代换).
∴ GD∥CB ( 内错角相等,两直线平行 ).? ∴ ∠3=∠ACB ( 两直线平行,同位角相等 ). D思维入门指导:
A欲要∠3=∠ACB,必须GD?∥BC.?由平行线判定只需要1∠1=?∠DCB,
2因为∠1=∠2,所以只要∠2=∠DCB,由平行线性质,只需满足CD∥EFBEC即可,
而CD∥EF是已知条件,从而得解.
⑶ 已知(如图)AE⊥BC于E,∠1=∠2,试说明DC⊥BC的理由? 解： ∵AE⊥BC,
∴∠AEC=900
, ∵∠1=∠2 ∴AE∥DC
∴∠DCB=1800-∠AEC ＝1800-900 =900, ∴BC⊥DC.
⑷ 如图,已知∠1+∠2+180°,∠DEF=∠A,
试判断∠ACB与∠DEB的大小关系,?并对结论进行说明.
解：∠ACB与∠DEB的大小关系是∠ACB=∠DEB.其理由如下： ∵∠1+∠2=1800，
∠BDC+∠2=1800，
∴∠1=∠BDC A∴BD∥EF D∴∠DEF=∠BDE
2∵∠DEF=∠A
F∴∠BDE=∠A
1∴DE∥AC
BEC∴∠ACB=∠DEB。
⑸ 如图,∠1=∠2,∠D=∠A,那么∠B=∠C吗?为什么? 解：∵∠1=∠2 ∴AE∥DF AFB ∴∠AEC=∠D ∵∠A=∠D
∴∠AEC=∠A 12H ∴AB∥CD G ∴∠B=∠C. CED⑹ 如图所示,A,O,B在一条直线上,
OE平分∠COB,OD⊥OE于O,试说明OD?平分∠AOC. 解: ∵DO⊥OE,
∴∠2+∠3=90°,
又∵A,O,B在一条直线上, ∴∠AOB=180°, C∴∠4+∠1=90°.
D又∵OE平分∠BOC,
E∴∠1=∠2,
32∴∠3=∠4,
41∴OD平分∠AOC.
AOB