?b1?a?2其中 A??????c1b2?c2?an?1?bn?1an??f1???f???，f??2?
????cn?1???fn???bn??b1?c1?0?并满足条件 ?bi?ai?ci?b?a?0n?n则称
aici?0i?2,3,?,n?1 ?*?
A为对角占优的三对角矩阵。
?1?l?2A有如下的LU分解式A??????1l3??1ln??u1??????????1????c1u2c2??un?1???? ?cn?1?un??这里L为下二对角阵，U为上二对角阵，且次对角元素ci与矩阵
A的上次对角元素相同，故可解得：
?u1?b1?ai?l??iui?1???ui?bi?lici?1再求解Lyi?2,3,?,ni?2,3,?,n?y，
?f及Uxy1?f1??分别得??y?f?lyiii?1?iyn?x?n?un?及?
i?2,3,?n?x??yi?cixi?1?i?n?1,?,2,1?iui?Ax?f的系数矩阵满足条件
定理3：设三对角线性方程组
?*?，则A非奇异并且有（1）
ui?0i?1,2,?,n
（2）0?ciui?1，i?1,2,?,n?1
，i （3）
bi?ci?ui?bi?aiAx?f?2,3,?,n?1
该定理表明：三对角线性方程组的解存在唯一且可用追赶法顺利计算，而且计算是稳定的。
三、Cholesky分解与平方根法 若
A为对称正定矩阵，则其顺序主子式?i?0(i?1,2,?,n)，故知A?LU分解是存在唯一的，且
uii?0，有
?u11?U?????u12?u1n??u11?u22?u2n??????????unn???u121??u11????1?????unn????u1n?u11??u2n?~??DU
u22?????1???u22D?diag?u11,u22,?,unn?
~~~~LU?LDU?A?A??U?D?L??U?DL?，故U??L，A?LDL?
而
?d1?D?????由此，
d2??d1??????????dn???d2???d1????????dn????d2?????D12D12 ??dn??1111?A?LD2D2L??(LD2)(LD2)??L1L1 其中L为下三角矩阵。
定理4：如果A?R的对角元素lii解。
n?n为对称正定矩阵，则存在一个实非奇异下三角矩阵L，使得A?LL?，当限定L?0，?i?1,2,?,n?时，这种分解是唯一的。称这种分解为对称正定矩阵的Cholesky分
?a1n??l11?l?a2n????21???????ann??ln1??l11??????????lnn??l21?ln1?l22?ln2??
????lnn??a11?aA??21????an1a12a22?an2l22?ln21?j?12?2??i?jljj??ajj??ljk????k?1??解得?j?1??i?jl???a?llij?ij?ikjk??/ljj?k?1???j?1,2,?,n
i?j?1,?,n l11?a11，li1?ai1(i?2,3,?,n) l11解方程组LL?x?b，其计算公式为：
?y1?b1l11??i?1????yi??bi??lik?/lii?k?1???xn?yn/lnn??n?? ?x?y?lx?kik?/liii?2,3,?,n?i?ik??i?1??i?n?1,?,2,1
此为解对称正定方程组的平方根法，其计算量约为Doolittle分解的半。 另外，ajj??l2jkk?1j，
ajj? j?1,2,?,n，故有 l2jk?ajj?max?1?j?n 即
1?j,k?nmaxljk?maxajj1?j?n??
可见平方根法在计算过程中lik数量级不增长，算法稳定。 例5：用平方根法求解方程组
?11??x1??6??4?????? ?14.252.75x2??0.5 ????????12.753.5????x3????1.25??4?1解：?1?4?0，?2??16?0，?3?detA?16?0
?14.25?2???
2 A为对称正定，故Cholesky分解求得L??0.5????0.51.51?? 由Ly??b解得 y??3,0.5,?1? ??y解得 x??2,1,?1?
第四节 向量与矩阵范数
再由L?x一、向量范数
定义1：如果向量x?R的某实值函数N （1）
n?x?，记作
x，满足下列条件：
； x?0，当且仅当x?0时等号成立（正定性）
（2）
?x??x，??R （齐次性）
（三角不等式）
（3）
x?y?x?y?xn 则称N(x)是R上的一个向量范数。
n常见的三种范数：
x1??xii?1 1-范数
xx2?(?xi2)1/2 2-范数
i?1n
??maxxi1?i?n ?-范数
1p一般的，可定义
xp?p????xi??i?1?n，1?p??
定理5：设
?s与
?t是
Rns上任意两种向量范数，则存在常数
C1?C2?0，使得
C1xs?xt?C2x二、矩阵范数
。（该不等数称为向量范数的等价性）
矩阵
A??aij??Rn?n，则可定义F?A??AF??2????aij???i,j?1?n12，称为矩阵
A的Frobenius范数，简称
F-范数。 定义2：如果A?当
?a??Rijn?n的某个非负实函数N(A)，记做A，满足条件：（1）
A?0，当且仅
A?0时等号成立；
（2）
?A??A，??R
，B?Rn?nn?n （3）
A?B?A?BAB?AB?A为R
（4）
，B?R
则称N(A)注意1：可以验证
n?n上的一种矩阵范数。
AF是一种矩阵范数。
注意2：在引进矩阵范数时候，还考虑矩阵与向量相乘，
即
Ax?Axn，称其为相容性条件。
时，可定义
定义3：设x?R，
A?Rn?n，当给定某种向量范数?v
Av?maxx?0Axxvv，称其为矩阵的从属范数或算子范数。
定理6：设x?R，
相容性条件
定理7：设x?R，
nnA?Rn?n，x
v
是R上的一种范数，则由定义3知：
nAv是一种范数，且满足
Axv?AvxvA?Rn?n，，则
A??max?aij1?i?nj?1n （
A的行范数）
A1?max?aij1?j?ni?1n （
A的列范数）
A2??max?A?A? （A的2范数）
例6：给定A??1?2???34?，求A?，A1，A2以及AF ??解：
A??7，A1?6，AF?30?5.477
??1014?10?14???，AA??det??I?AA????2?30??4?0 ?14??20??1420??15?221，A2?29.866?5.465
2 求得?1?2特别，当则称?A为对称阵时，有A??max?A?A???maxA2??2max?A????A?，
???A?为矩阵A的谱半径。
Ax??x，其中x?0为特征向量，从而得
，故
根据特征值定义有
Ax??x??x?Ax
定理8（矩阵范数等价性）：对R 存在常数C1??A，于是??A??max??A???及
A
n?n上的任意两种矩阵范数
s?t，
?C2?0，使得C1As?At?C2As
A?Rn?n时，有A例如：可以证明，当
F?A2?1nAF
定理9：设B?Rn?n，且
?1B?1，则I?B非奇异，且?I?B??11?B
【证明】：（反证）若
I?B?0，则?I?B?x?0有非零解，即存在x0?0， 使Bx0?x0，故
Bxx?Bx0x0?1，与条件B?1矛盾！
Bx0x0?1，故B?maxx?0又
?I?B??I?B??1?I，有?I?B??1?I?B?I?B??1