从而
(I?B)?1?I?B?I?B??1，故
?I?B??1?11?B
第五节 病态条件与误差分析
对于线性方程组
Ax?b，若A与b有微小误差对x影响不大就是“好”问题，反之，就是“坏”问题，
称之为病态问题。
?10?7例7：给定线性方程组Ax???8??7他的精确解为
77??x1??32??x??23?565???2????
6109??x3??33??????5910??x4??31?8?1111?T，
A的特征值为?1?30.288，?2?3.858，
?3?0.8431，?4?0.01015，故A对称正定。
若
A?x??x???32.122.933.130.9?，则x??x??9.2?12.64.5?1.1?
78.17.2??x1??x1??32??10?7.085.046??x??x??23?52???2??? 若?A??A??x??x????85.989.899??x3??x3??33???????x??x6.994.9999.98???4?31?4?则它的解x??x???81137?3422?
故方程是病态的。 定义4：设A?R条件数。
性质：1）cond(A)n?n非奇异，
?为矩阵的任意一种从属范数，则称cond(A)?AA?1为矩阵
A的
?1，cond(A)?cond(A?1) ?cond(A)，??R，??0
2）cond(?A) 3）若?1与?n为A的按模最大和最小的特征值，则cond(A)??1?n
若
A对称，则对称阵2范数有cond(A)2??1?n
下面考虑方程扰动的误差分析： 若扰动方程为
A?x??x??b??b， 则A?x??b，
——（1），
?x?A?1?b， ?x?A?1?b而
b?Ax?Ax， 即
A1?xb ——（2）
于是由（1）（2）可得
?xx?cond(A)?bb
故cond(A)越小，方程右端扰动引起的解的误差越小。
若扰动方程为而
?A??A??x??x??b， 则?A??A??x????A?x ???
A??A?AI?A?1?A??， 假定
1?1A?1?A?A?1?A?1，由定理9可知，
?I?A?1?A??1?1?A?A???可变成 ?x???A??A??1??A?x??I?A?1?A??1A?1???A?x
故
?x??I?A?1?A??xxA?1?A1?A?1?1A?1?Axcond(A)?，
?AA即
??A1?cond(A)?AA
定理10：设
A?Rn?n非奇异，b?0，x是线性方程组Ax?b的解，x??x的
解
，
如
果
是扰动方程组
差
估
计
?A??A??x??x??b??b?xcond(A)A?1?A?1，则有误
??A?b??? ????A?Axb??1?cond(A)A??1时，方程组是病态的。相应的矩阵A由定理10知，cond(A)越大，解的误差越大，当cond(A)称为病态矩阵。 例7中，系数矩阵
A条件数为cond(A)2?T?1?2984， ?4??32233331?T例中，?b??0.1?0.10.1?0.1?，b，
?x??8.2?13.63.5?2.1?T，实际相对误差
故相对误差放大了大约3000倍，方程组是病态的。
?xx22?16.39693?8.1985
2例8：Hilbert矩阵是一个著名的病态矩阵，其形式为
??1?1?Hn??2???1?n?H3?11??2n?11???3n?1?，它是一个对称矩阵，当n?3时是病态矩阵。 ???11??n?12n?1??11?1，H36??3630??9?，H?1???36192?1803????30?180180?????408
于是 cond(H3)??H3H3?1??748，
故是严重病态的，且n越大，cond(Hn)也越大。