专题十二：直线与圆、参数方程与极坐标
【走进高考】
1. (09·辽宁) 已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( B ) A.(x?1)2?(y?1)2?2 B.(x?1)2?(y?1)2?2 C.(x?1)2?(y?1)2?2 D. (x?1)2?(y?1)2?2 2.(09·天津) 若圆x2?y2?4与圆x2?y2?2ay?6?0（a>0）的公共弦的长为23，则a? 1 . 3.(09·宁夏/海南) 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos（???3）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点.
（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程. 【解析】（1）由?cos(???3)?1得?(12cos??32sin?)?1.
从而C的直角坐标方程为
12即x?3y?2x?32y?1
23323?,)32233)??0时，??2，所以M(2,0)???2时，??，所以N(（2）M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为(0,所以P点的直角坐标为
(1.33),则P点的极坐标为(23?,),36.
所以直线OP的极坐标方程为?
【考点聚焦】 一、直线方程
1.直线方程的五种形式
??,??(??,??)?.
确定直线方程需要有两个互相独立的条件，确定的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
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名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b k—斜率.倾斜角为90°的直线不能b—纵截距. 用此式 点斜式 y-y(x0，y0)—直线上已知点 倾斜角为90°的直线不能0=k(x-x0) k—斜率 用此式 两点式 y?y1y=x?x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上与两坐标轴平行的直线2?y1xx 2?1两个已知点 不能用此式 截距式 x+ya—直线的横截距 过（0，0）及与两坐标轴ab=1 b—直线的纵截距 平行的直线不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ?AB，?CA，?CB分别为A、B不能同时为零 斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线； 两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；
截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线. 2.直线与直线的位置关系
（1）若l1，l2的斜率均存在且不重合，则①l1//l2? k1=k2；②l1?l2? k1k2=－1. （2）若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0，且A1、A2、B1、B2都不为零，则①l??C1//l2?A1B11；
A2B2C2②l1?l2? A1A2+B1B2=0； ③l1与l2相交?A1A?B1；
2B2④lA1B1与l2重合??1；
A2B?C12C2注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母是否等于0的情况.
(3) 两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数. 3.点线距与线线距
(1) 点P(x0 ，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=
Ax0?By0?C；
A2?B2(2) 平行线Ax+By+CC1?C21=0.与Ax+By+C2=0之间的距离d=A2?B2.
二、圆方程
1.圆方程的几种形式
(1)标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0).
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其中圆心为C(a,b)，半径为r.
(2)一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0. 其中圆心为(?D2,?E2)，半径r?D2?E22?4F，(D2?E2?4F?0).
(3)二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆方程的充要条件是：①A?C?0；
②B=0；③D2?E2?4AF?0.
2.直线与圆的位置关系
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系(d?Aa?Bb?C) A2?B2.
d?r?相离???0； d?r?相切???0； d?r?相交???0.
3.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d. d?r1?r2?外离?4条公切线；
d?r1?r2?外切?3条公切线；
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线；
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d?r1?r2?内切?1条公切线；
0?d?r1?r2?内含?无公切线；
三、极坐标
1.极坐标与直角坐标的互化 点M的直角坐标为2.圆的极坐标方程
(1) 圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为??R；
(2)圆心在极轴上的点(a，0),且过极点O的圆的极坐标方程为??2acos?； ?(3) 圆心在点(a，)且过极点的圆的极坐标方程为??2asin?.
2??2?x2?y2?x??cos??. (x，，)，极坐标为(?，?)，则?，或?y?y??sin??tan??x?四、参数方程
1.直线的参数方程
?x?x0?tcos?(t参数)， 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?y?y?tsin?0?t的几何意义：有向线段M0P的数量，其中P(x，y)为直线上任一点.
?x?x0?Rcos?(0???2?). 2.圆的参数方程：圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆的参数方程为??y?y0?Rsin??x?x0?acos?(0???2?). 2. 椭圆的参数方程：中心在点M0(x0，y0)的椭圆的参数方程为?y?y?bsin?0?
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【经典例解】
题型一：直线方程及其位置关系
【例1】若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A.4x?y?3?0 B.x?4y?5?0 C.4x?y?3?0 D.x?4y?3?0 【解析】与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4， 而y??4x3，所以y?x4在点(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0.选A. 【点拨】本题考查两直线函数的导数的求法及导数的几何意义、两直线垂直的条件等基本知识.由两条斜率存在且不为零的直线垂直的条件即两直线的斜率互为负倒数，求得曲线在切点处的切线的斜率与切点坐标，再由点斜式求得切线方程.
【变式】已知两条直线l1:ax?3y?3?0,l2:4x?6y?1?0.若l1//l2，则a?___ . 【解析】2.
题型二：圆方程及圆的基本问题
【例2】已知圆的方程为x2?y2?6x?8y?0．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和
BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A.106 B.206 C.306 D.406
【解析】圆心坐标是?3,4?，半径是5，圆心到点?3,5?的距离为1.
根据题意，知最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为25?1?46， 所以四边形ABCD的面积为
12?AC?BD?12?10?46?206.
22【点拨】本题考查圆方程、圆的几何性质及四边形的面积等基础知识，同时考查考生的逻辑推理、运算求解等能力.
解答本的题的突破口是分析得出“两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径”的结论，然后利用四边形的面积就是两条垂直对角线长之积的一半即可求解.
【变式】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x?3y?0和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
7??22A．(x?3)??y???1 B．(x?2)?(y?1)?1
3??223??22C．(x?1)?(y?3)?1 D．?x???(y?1)2?1
2??2【解析】?x?2???y?1??1.
题型三：圆与直线、圆与圆的位置关系
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