【例3】已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点. （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. 【解析】（Ⅰ）解法一： M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.
解法二：设M（x，y）.依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=(x?1)?y.化简得：y=4x.
（Ⅱ）（i）由题意得直线AB的方程为y=－3（x－1）.
2
22图 ?1?y??3(x?1),2由?消y，得3x－10x+3=0，解得x1=，x2=3.
23??y?4x.123所以A点坐标为（,），B点坐标为（3，－23），
33所以|AB|=x1+x2+2=
163.
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|，且|AC|=|AB|，
162?22(3?1)?(y?23)?()①, ?3?即?122162?(?1)2?(y?)?().② ?33?3. 由①－②得42+（y+23）2=（
43）2+（y－
233）2，解得y=－
1493.
但y=－
1493不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形. （ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形.
?y??3(x?1),由?得y=23. ?x??1.，
即当点C的坐标为（－1，23）时，A、B、C三点共线，故y≠23.
2
又|AC|=（－1－
132843y）2+（y－23）2=?+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2，
3936
所以|AB|=（
2
163）=
2
2569.
222当∠CAB为钝角时，cosA=
|AB|?|AC|?|BC|2|AB|?|AC|2<0.
222
即|BC| >|AC|+|AB|，即28?43y?y?289?433y?y?22569，
即y>
292
CAB为钝角； 3时，∠
当|AC|>|BC|+|AB|，即
22
289?433y?y?28?43y?y?222569，
即y<－
1032
3时，∠CBA为钝角；
又|AB|>|AC|+|BC|，即
22
2569?289?43y3?y?28?43y?y，
22即y?2433y?43?0,(y?23)?0，该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
2因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y??103）.
2
3或y?239(y?23).
解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－
53）+（y+
2
233）2=（
83而圆心（
53,?2383）到直线l：x=－1的距离为，
3233）.
所以以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角；
当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角. 即△ABC中，∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 过点A且与AB垂直的直线方程为y?233?33(x?13).
7
令x=－1，得y=
239.
过点B且与AB垂直的直线方程为y+23?33（x－3）.
令x=－1，得y=－
1033.
?y??3(x?1),又由?解得y=23，
?x??1.，
所以，当点C的坐标为（－1，23）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－
1033或y>
239（y≠23）.
【点拨】本题考查圆的几何性质、圆与直线的位置关系、求轨迹方程及判定三角形形状等基本知识. 求圆心的轨迹方程的关键是找到动点所满足的几何条件，再用解析法即坐标表示该几何条件即； 探求存在性问题时，一般都假设其存在，由此进行推理，看得出的结果是否与题中条件相符即可； 用钝角的三角函数的符号确定点C的坐标所满足的条件是求其坐标的取值范围的突破口.
题型四：参数方程与极坐标
?x??1?2cos?【例4】已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:? (?为参数 )，试判断他们的公共点个数.
y?2?2sin??【解析】圆的方程可化为(x?1)2?(y?2)2?4，其圆心为C(?1,2)，半径为2.
?1?3?2?4?123?422而圆心到直线l:3x+4y-12=0的距离d=?75＜2，
所以直线l与圆C相交，即有2个公共点.
【点拨】本题主要考查圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系等基本知识.
将圆的参数方程化为普通方程，再求出圆心到直线的距离是求解本题的突破口.
【变式】在极坐标系中，直线l：?(cos??sin?)?2?0被曲线C：??2所截得弦的中点的极坐标为 ．
【解析】(?1,1)
【规律总结】
8
1.解答有关直线问题时应注意：
（1）确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围； （2）利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况；
（3）利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”而造成丢解； 2.关于直线的对称问题：点、直线与曲线关于直线l 的对称问题可以转化为点关于直线l 对称的问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成.
3.点与圆位置关系：点P（x0 ，y0）和圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2的位置关系有三种： ①点P 在圆C 外有(x0 －a) ＋(y0 －b) ＞r； ②点P 在圆上：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＝r2； ③点P 在圆内：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 .
4.圆系方程：设⊙O1 ：x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0. （1）两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0； （2）经过两圆的交点的圆系方程为x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋?（x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）
5.灵活地进行极坐标和直角坐标的互化；参数方程与普通方程的互化；熟练掌握参数方程中各个参数的几何意义.
【45分钟限时训练】 一、选择题
1.经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是( ) A.x-y-1=0 B.x+y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 2.直线y?x?1与圆x2?y2?1的位置关系为（ ）
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
?x?3cos???为参数，0?????上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为?，则P3. 已知过曲线?4?y?4sin?2
2
2
点坐标是( )
5 B.25 C.5 D.
A.
55
4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆学x?y?4y?0所截得的弦长为( ) A.
3 B.2 C.6 D.23 22二、填空题
9
5. 若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是：①15?；②30?；③45?；④60?；⑤75?.
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 6.已知实数x、y满足(x?2)2?(y?1)2?1，则z?y?1x的最大值与最小值分别为_____ _.
227.过圆C：(x?1)?(y?1)?1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，
?AOB被圆分成四部分（如图）.若这四部分图形面积满足S??S￥?S??S|||,则直线
AB有____条.
三、解答题
8. 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上； （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
22229. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)?(y?1)?4和圆C2:(x?4)?(y?5)?4.
（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
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