1、对美的理解
在提倡素质教育，培养全面发展人才的今天，提到美，人们便会自然而然的联想到音乐、绘画、舞蹈、影视、文艺等视觉艺术和听觉艺术。而作为研究自然规律的一门学科—数学中，是否存在美？ 这是历来数学研究者们关注的问题。古代希腊时期的毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是合谐与比例”的观点。 古代哲学家、数学家普洛克拉斯也断言：“哪里有数，哪里就有美”。。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种泛而严肃的美。这种美，不是投合我们天性的微弱的一面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”量子力学的创始人海森堡说：“自然界把我们引向极其简单而美丽的数学形式……我被自然界向我们显示的数学体系的简单性和美强烈地吸引住了。”开普勒甚至认为:“数学是这个世界之美的原型。”从这些论述中， 我们可以清楚地看到：数学研究者在其科研活动中深刻感受到了数学美的存在，并以追求数学美来推动数学的不断发展。
2、数学美的几种形式
数学美的含义是丰富多彩的，如数学概念的精确，数学定理的概括，数学公式的简捷、齐整，数学图形的和谐、对称， 数学结构系统的协调、完备，数学方法的奇妙、多样等等，这就决定了数学美具有简单性、统一性、对称性、奇异性、秩序性等表现形式。
2．1 简单性
数学家们常常以简单性作为自己的追求目标，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。狄德罗曾指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的解答则指一个困难、复杂问题的简单回答。”高斯在回顾二次互反律的证明过程时也曾说：“去寻找一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。”最能说明简单性是推动数学发展与创造的美学因素之一的典型例子便是为了避免重复的加法和乘法运算而引进乘法与幂的运算：３＋３＋３＋３＝３×４ ａ〃ａ〃ａ……＝a质能公式E=m，如此深刻地揭示了微观、宏观世界的种种质能变化规律，因而其内容极为丰富，但其表述却又如此简单明了。尤拉公式：e =cosx+isinx 指数函数与三角函数在实数域中看不出任何联系，而在复数域中却发现了它们可以互相转化，并且被一个非常简洁的关系式联系在一起。表面上看来复杂得使人眼花缭乱的对象，一旦理出了头绪，却显得异常的简明，从而会唤起理性上的美感。应当注意的是，数学中所说的简洁并不是指纯数学方面的考虑，如证明、计算的简单，而且也包括了逻辑方面的考虑，即要求数学理论在逻辑结构方面也应是简单的。如：由于数学理论是逻辑地展开的，因此，出于简单性的考虑，数学家们就提出了公理的独立性问题，即认为：如果一条公理能由其他的公理推导出来，这一公理在逻辑上就是不必要的。另外，就每一个公理而言，数学家们又认为它们应当是简单的、清晰的，而
不应当是复杂的、难以琢磨的。这样，简洁性的考虑就直接促进了公理化方法及数学的发展。 2．2 统一性
数学中的统一性，是指数学中部分与部分，部分与整体之间的和谐一致。数学的统一美，美在数学对客观世界和谐协调、井然有序的真实反映上。数学的统一美，使人们对数学能够居高临下、揽括一切，增强人们洞察世界的深度、广度。
例如:（1）代数与几何是两个独立的分支，然而通过坐标系的建立，使点与数建立了对应，从而把代数研究的对象和几何研究的对象——方程与曲线联系了起来，实现了统一。
（2）作为有理数、无理数、代数数、超越数、实数、虚数完美统一的象征之一的式子e+1=0是我们已知的，这个式子可说是各种数的一个大统一。
（3）在体积计算中就有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱(圆)柱、棱(圆)锥及棱(圆)台的体积计算：V=h(s+s′+ss′)。
（4）初等数学中经常见到的代数式
可以理解为：a、
表示点 Ｐ（ｘ， ｙ）到原点的距离；b、表示复数 ｘ＋ｉｙ 的模；c、若 ｘ、y 均为正数， 可表示为以 ｘ、y 为直角边的直角三角形斜边的长。像这种不同的内容统一为同一个式子，展现了数学高度的统一性。
(5)平面解析几何中圆、椭圆、双曲线和抛物线的统一性，有如下表现：a、从方程的形式看，在直角坐标系中，这几种曲
线的方程都是二元二次方程，我们把它们称为二次曲线。b、从点的集合(或轨迹)的观点看，除圆外，它们都是与定点和定直线距离的比是常数ｅ的点的集合(或轨迹)，只是由于离心率ｅ取值的不同而分为椭圆、双曲线和抛物线。c、从天体运行的轨道看，由于天体运动的速度的不同，它们的轨迹分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线。d、四种曲线又可以看作不同的平面截圆锥体所得的截面的截线，因此它们又统称为圆锥曲线。e、除圆外，它们在极坐标下的极坐标方程统一。
(6) 再如勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即
。将其进行推演可以得到a、三角
形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
cosC (余弦定理)。b、长
方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即
(三度平方和定理)。 d、两条异面直线ａ、
ｂ所成的角为θ，它们的公垂线ＡＡ′的长度为ｄ，在直线ａ、ｂ上分别取点Ｅ、Ｆ，设Ａ′Ｅ=ｍ，ＡＦ=ｎ，ＥＦ=l，则
(异面直线上两点间距离公式)。e、在以
Ｄ ＡＢＣ为三个直三面角的四面体D—ＢＣＤ中，第四个面的面积等于三个直三面角的三个面的面积的平方和，即
。以上各推演在本质上都统一于勾股定理，如果
能够看到不同形式下的相同内核，那么就能更加深刻的理解各个知识，提高对他们的应用能力。
以上各例列举的知识统一，恰恰证明了数学家希尔伯特的论断：“尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚的认识到，在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系。同时，在它的不同部分之间，也有大量的相似之处。我们还注意到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加协调一致，并且一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系。因此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来。”
2．３对称性
所谓对称，即指整体的各个部分之间的匀称和对等。对称美，美在反映事物的秩序、简洁、完整及由此及彼的联系，美在表现了事物运动的稳定性与对立统一规律。在现实世界中，对称的形象是很多的。例如人体的外形，显示出左右对称。树叶以其主脉为对称轴，蜂巢、蛛网呈正多边形。毕达哥拉斯曾说：“一切立体图形中，最美的是球形。一切平面图形中最美的是圆形。”杨辉三角，以非常整齐的三角形排列，得出了二项式不同方次的展开系数；大家都非常熟悉的“九九歌”，如果把九的口诀从左向右做好整齐的排列，也是一个非常严整的直角三角形。对称性还表现为某种相应性。例如，加与减、乘与除、正弦与余弦、指数与对数、有限与无限、微积与积分等等都是如此。再如，在一定条件下，有一个关于极大值的命题，就相应地有一个关于极小值的命题。“如果三角形的周长一定，则当这个三角形是正三角形