18.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上(不与A,D重合),点F在边CD上,且∠
EBF=45°,若△ABE的外接圆☉O与CD边相切.
(1)求☉O的半径长; (2)求△BEF的面积.
解:(1)将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP,过点B作BQ⊥EF,设☉O与CD相切于点M,连接OM,延长MO交AB于点N,如图所示 在△BPE与△BFE中.
∴△BPE≌△BFE(SAS), ∴∠AEB=∠BEQ,PE=EF.
在△AEB和△QEB中,
∴△AEB≌△QEB(AAS),∴BQ=AB=2.
由PE=EF可知,
C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4.
设AE=a,则DE=2-a,BE=,
∵O为BE中点,且MN∥AD,∴ON=AE=.∴OM=2-.又BE=2OM,
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∴=4-a.解得a=,∴ED=,BE=,∴☉O的半径长=BE=.
(2)∵C△EFD=4,设DF=b,∴EF=4-b--b. 在Rt△EDF中,+b=,解得b=,
2
∴EF=,∴S△BEF=×2=.
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