记h(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x∈(0,+∞),h'(x)=错误！未找到引用源。-2a,
①当a≤0时,h'(x)>0,h(x)=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
故f'(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,
此时,函数f(x)在(0,+∞)上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意; ........................ 4分
②当a>0时,令h'(x)=0,可得x=错误！未找到引用源。,列表:
(0,错误！未(错误！未找x h'(x) h(x) 找到引用源。) 0 极大值 到引用源。,+∞) + ↗ - ↘ 若h(错误！未找到引用源。)≤0,即a≥错误！未找到引用源。时,h(x)≤h(错误！未找到引用源。)≤0,即f'(x)≤0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,函数f(x)在(0,+∞)上不存在极值,与题意不符, .................. 5分 若h(错误！未找到引用源。)>0,即0
由于错误！未找到引用源。>1>错误！未找到引用源。,且h(错误！未找到引用源。)=ln错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+1=-错误！未找到引用源。<0,
故存在x1∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),使得h(x)=0,即f'(x)=0, 且当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,x1)上单调递减;
当x∈(x1,错误！未找到引用源。)时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值. ......................................................................................... 7分 由于错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。,且h(错误！未找到引用源。)=ln错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+1=-2ln a-错误！未找到引用源。+1<0(事实上,令μ(a)=-2ln a-错误！未找到引用源。+1,μ'(a)=-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,故μ(a)在(0,1)上单调递增,所以μ(a)<μ(1)=-1<0).
故存在x2∈(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),使得h(x)=0,即f'(x)=0,
且当x∈(错误！未找到引用源。,x2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(错误！未找到引用源。,x2)上单调递增; 当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=x2处取极大值.
综上所述,当00对任意的x∈(1,+∞)恒成立, 可得xln x-(a-1)x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立. 即a<错误！未找到引用源。对任意的x∈(1,+∞)恒成立.(*) 记φ(x)=错误！未找到引用源。,得φ'(x)=错误！未找到引用源。,
设t(x)=x-2-ln x,t'(x)=1-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,则t(x)在(1,+∞)是单调增函数,
又t(3)=1-ln 3<0,t(4)=2-ln 4>0,且t(x)在[3,4]上的图象是不间断的, 所以,存在唯一的实数x0∈(3,4),使得t(x0)=0, 当1
所以当x=x0时,φ(x)有极小值,即为最小值φ(x0)=错误！未找到引用源。, 又t(x0)=x0-2-ln x0=0,故ln x0=x0-2,所以φ(x0)=错误！未找到引用源。=x0. 由(*)知,a 所以整数a的最大值为3. .................................................................. 16分 20.解:(1)由Sn=3an-2a1,得Sn+1=3an+1-2a1, 两式相减得an+1=3an+1-3an,即an+1=错误！未找到引用源。an. 又a1≠0,故an≠0,故错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。为定值. 所以数列{an}为等比数列. ................................................................... 4分 (2)当a1=错误！未找到引用源。时,an=(错误！未找到引用源。), n则bn=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2×[错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。], 即bn=2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。). ....................................... 7分 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+2(错 误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+…+2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。) =2(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。) =4-错误！未找到引用源。. ................................................................ 10分 (3)由于ak=a1(错误！未找到引用源。)及a1均为正整数,所以存在正整数m,使得a1=m·2. k-1 k-1 所以ak=m·3. k-1 因为ak≤(q+1),得m·3≤(q+1),(*) k-1 k-1 k-1 由于正整数m≥1,故(q+1)≥m·3≥3,所以q+1≥3,即q≥2. k-1 k-1 k-1 又因为a1≥q,所以错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。),即(错误！未找到引用源。)≤(错误！未找到引用源。), k-1 k-1 k-1k-1 所以错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。,即q≤2. 所以q=2. 将q=2代入(*)式,得m·3≤3,即m≤1. k-1 k-1 又正整数m≥1,故m=1. 所以a1=2. ............................................................................. 16分 k-1 高三数学附加题考试卷 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1:几何证明选讲] 在△ABC中,已知CM是∠ACB的平分线,△AMC的外接圆交BC于点N,且BN=2AM.证明:AB=2AC. B.[选修4-2:矩阵与变换] 已知矩阵A=错误！未找到引用源。,A的逆矩阵A=错误！未找到引用源。. (1)求a,b的值; (2)求A的特征值. C.[选修4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为错误！未找到引用源。(θ为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。.若点P是圆C上的动点,求点P到直线l距离的最小值. D.[选修4-5:不等式选讲] 222 已知a,b,c均为正数,证明:a+b+c+(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！ 2 未找到引用源。)≥6错误！未找到引用源。. 【必做题】第22,23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(10分) -1 如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1. (1)求AA1的长. (2)若BP=1,求二面角P-A1C-A的余弦值. 23.(10分) 某书店有不同类型的数学杂志n种,张老师购买每种类型杂志的概率都是错误！未找到引用源。,且任何两种不同类型杂志其是否购买相互独立,设X表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志种类数的差的绝对值. (1)当n=3时,求X的概率分布及数学期望; * (2)当n=2k+1,k∈N时,求X的概率分布及数学期望. 高三数学附加题考试卷参考答案 21.A.证明:如图,在△ABC中,因为CM是∠ACM的平分线, 所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,① ......................................... 3分 又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线, 所以BM·BA=BN·BC, 即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, ............................................. 6分 又BN=2AM, 所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,② ......................................... 8分 由①②,得AB=2AC. ....................................................................... 10分 B.解:(1)因为AA=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. -1 所以错误！未找到引用源。解得a=1,b=-错误！未找到引用源。. ................................. 5分 (2)由(1)得A=错误！未找到引用源。,则A的特征多项式f(λ)=错误！未找到引用源。=(λ-3)(λ-1). 令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3. .................................................... 10分 C.解:由直线l的极坐标方程为ρsin(θ-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,即ρsin θcos错误！未找到引用源。-ρcos θsin错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 整理得,直线l的普通方程为x-错误！未找到引用源。y+错误！未找到引用源。=0. ................. 2分 又圆C的参数方程为错误！未找到引用源。(θ为参数),消去参数可得(x-错误！未找到引用源。)+y=1. 2 2 所以圆C的圆心坐标为(错误！未找到引用源。,0),半径为1. .................................... 4分 故圆心C到直线l的距离为d=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. ..................... 6分 所以点P到直线l的距离的最小值为错误！未找到引用源。-1. ................................. 10分 D.证明:因为a,b,c均为正数, 由均值不等式得a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac. ............................................. 3分 2 2 2 2 2 2 所以a+b+c≥ab+bc+ac. ................................................................... 5分 2 2 2 同理错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。, ................................................. 7分 故a+b+c+(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。)≥ab+bc+ac+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≥6错误！未找到引用源。. ........ 10分 2 2 2 2 22.解:(1)分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 设AA1=t,则A(0,0,0),C1(0,4,t),B1(3,0,t),C(0,4,0).