所以错误！未找到引用源。=(0,4,t),错误！未找到引用源。=(-3,4,-t).
因为B1C⊥AC1,所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0,即16-t=0,解得t=4.
2
所以AA1的长为4. ......................................................................... 4分 (2)因为BP=1,所以P(3,0,1),又C(0,4,0),A1(0,0,4),
故错误！未找到引用源。=(0,4,-4),错误！未找到引用源。=(3,0,-3).
设n=(x,y,z)为平面PA1C的法向量,则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。 取z=1,解得y=1,x=1.
∴n=(1,1,1)为平面PA1C的一个法向量. ....................................................... 7分 显然,错误！未找到引用源。=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量. ................................. 8分
则cos
X的可能取值分别为1,3.
P(X=1)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)1(1-错误！未找到引用源。)2+错误！未找到引用
源。(错误！未找到引用源。)(1-错误！未找到引用源。)=2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。;
2
1
3
P(X=3)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)0(1-错误！未找到引用源。)3+错误！未找到引用
源。(错误！未找到引用源。)(1-错误！未找到引用源。)=2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。. .................................................................... 2分
3
0
3
X的概率分布为:
X P 1 3 E(X)=1×错误！未找到引用源。+3×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。................. 3分
(2)当n=2k+1,k∈N时,张老师购买的杂志种数可能为0,1,…,2k+1.
*
X的可能取值分别为1,3,5,…,2k+1.
P(X=1)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)k(1-错误！未找到引用源。)k+1+错误！未找到引用
源。(错误！未找到引用源。)(1-错误！未找到引用源。)=2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。);
2k+1
k+1kP(X=3)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)k-1(1-错误！未找到引用源。)k+2+错误！未找到引
用源。(错误！未找到引用源。)(1-错误！未找到引用源。)=2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。);
2k+1
k+2k-1
P(X=5)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)k-2(1-错误！未找到引用源。)k+3+错误！未找到引
用源。(错误！未找到引用源。)(1-错误！未找到引用源。)=2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。);
2k+1
k+3k-2
……
P(X=2k+1)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)0(1-错误！未找到引用源。)2k+1+错误！未找到
引用源。(错误！未找到引用源。)(1-错误！未找到引用源。)=2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。).
2k+1
2k+1
0
E(X)=1×2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)2k+1+3×2错误！未找到引用源。(错误！未找到
引用源。)+5×2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)+…+(2k+1)×2错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)
2k+1
2k+1
2k+1
=(错误！未找到引用源。)2k·[1×错误！未找到引用源。+3×错误！未找到引用源。+5×错误！未找到引
用源。+…+(2k+1)×错误！未找到引用源。]
=(错误！未找到引用源。)2k·[((k+1)-k)×错误！未找到引用源。+((k+2)-(k-1))×错误！未找到引用源。+((k+3)-(k-2))×错误！未找到引用源。+…+
((2k+1)-0)×错误！未找到引用源。]
=(错误！未找到引用源。)2k·[((k+1)错误！未找到引用源。-k错误！未找到引用源。)+((k+2)错误！未
找到引用源。-(k-1)错误！未找到引用源。)+((k+3)错误！未找到引用源。-(k-2)错误！未找到引用源。) +…+((2k+1)错误！未找到引用源。-0错误！未找到引用源。)]
=(错误！未找到引用源。)2k·[((k+1)错误！未找到引用源。-k错误！未找到引用源。)+((k+2)错误！未
找到引用源。-(k-1)错误！未找到引用源。)+((k+3)错误！未找到引用源。-(k-2)错误！未找到引用源。) +…+((2k+1)错误！未找到引用源。-0错误！未找到引用源。)]
=(错误！未找到引用源。)2k·[[(k+1)错误！未找到引用源。+(k+2)错误！未找到引用源。+(k+3)错误！未
找到引用源。+…+(2k+1)错误！未找到引用源。]-
[k错误！未找到引用源。+(k-1)错误！未找到引用源。+(k-2)错误！未找到引用源。+…+1错误！未找到引用源。]] ............................................................................... 7分 由于i错误！未找到引用源。=i·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=n错误！未找到引用源。
=n错误！未找到引用源。,i=1,2,…,n,所以E(X)=(错误！未找到引用源。)2k·[[(k+1)错误！未找到引用
源。+(k+2)错误！未找到引用源。+(k+3)错误！未找到引用源。+…+(2k+1)错误！未找到引用源。]-[k错误！未找到引用源。+(k-1)错误！未找到引用源。+(k-2)错误！未找到引用源。+…+1错误！未找到引用源。]]
=(错误！未找到引用源。)2k·[[(2k+1)错误！未找到引用源。+(2k+1)错误！未找到引用源。+(2k+1)错误！
未找到引用源。+…+(2k+1)错误！未找到引用源。]-[(2k+1)错误！未找到引用源。+(2k+1)错误！未找到引用源。+(2k+1)错误！未找到引用源。+…+(2k+1)错误！未找到引用源。]]
=(错误！未找到引用源。)2k(2k+1)·[(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用
源。+…+错误！未找到引用源。)-(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。)]
=(错误！未找到引用源。)2k(2k+1)·错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。.
所以X的数学期望是错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。. ........................... 10分