2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---立体几何
1.（西城）从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．36
2. （西城）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?平面AA1C1C，AA1?AB?AC?2，?A1AC?60?.
过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F. （Ⅰ）求证：A1C?平面ABC1；
（Ⅱ）求证：四边形AA1EF为平行四边形； （Ⅲ）若
BF2?，求二面角B?AC1?F的大小. BC3解：（Ⅰ）因为 AB?平面AA1C1C，所以 A1C?AB． [ 1分] 因为 三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AC，所以 四边形AA1C1C为菱形， 所以 A1C?AC1． [ 3分]
所以 A1C?平面ABC1． [ 4分] （Ⅱ）因为 A1A//B1B，A1A?平面BB1C1C，所以 A1A//平面BB1C1C． [ 5分] 因为 平面AA1EF平面BB1C1C?EF，所以 A1A//EF． [ 6分]
因为 平面ABC//平面A1B1C1，
平面AA1EF平面ABC?AF，平面AA1EF平面A1B1C1?A1E，
所以 A1E//AF． [ 7分] 所以 四边形AA1EF为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面AA1C1C内，过A作Az?AC．
因为 AB?平面AA1C1C，
如图建立空间直角坐标系A-xyz． [ 9分] 由题意得，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,1,3)，C1(0,3,3)．
????2??44BF2BF?BC?(?,,0)， ，所以 ?因为
333BC324所以 F(,,0)．
33由（Ⅰ）得平面ABC1的法向量为A1C?(0,1,?3)． ???设平面AC1F的法向量为n?(x,y,z)，
?????n?AC1?0,则???n????AF?0,?3y?3z?0,?即?2 4x?y?0.?3 ?3令y?1，则x??2，z??3，所以 n?(?2,1,?3)． [11分]
???所以 |cos?n,A1C?|?|n?A1C||n||A1C|???????2． [13分] 2由图知 二面角B?AC1?F的平面角是锐角，
所以 二面角B?AC1?F的大小为45?． [14分]
3. （海淀）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：
1 6② 三棱锥的四个面全是直角三角形
① 三棱锥的体积为
③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是所有正确的说法是 D （A）① （B）①② （C）②③ （D）①③
俯视图3 21222222主视图左视图
4.（海淀）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，CD?BC，BC?CD?1，AD?2，E为AD中
点.将?ABE沿BE翻折到?A1BE的位置， 使A1E?A1D如图2.
?平面BCDE； （Ⅰ）求证：平面A1ED（Ⅱ）求A1B与平面A1CD所成角的正弦值；
（Ⅲ）设M、N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M?ACD和三棱锥N?ACD（图中未画出）11的体积大小，并说明理由.
AEDA1MEDBNC
图1 图2
（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD中，AD//BC，CD?BC，BC?1，AD?2，
E为AD中点，BE?AD
BC故图2，BE?A1E，BE?DE
……………..1分 ……………..2分
因为A1EIDE?E，A1E，DE?平面A1DE
所以BE?平面A1DE ……………..3分 因为BE?平面BCDE，所以平面A1DE?平面BCDE ……………..4分
（Ⅱ） 解一：取DE中点O，连接OA1，ON.
因为在?A1DE中，A1E?A1D?DE?1，O为DE中点
zA1M?DE 所以AO1
因为平面A1DE?平面BCDE
平面BCDE?DE
xBENCDy 平面A1DEAO?平面A1DE 1所以AO?平面BCDE 1因为在正方形BCDE中，O、N分别为DE、BC的中点， 所以ON?DE 建系如图. 则A1(0,0,11113)，B(1,?,0)，C(1,,0)，D(0,,0)，E(0,?,0).……………..5分
22222
uuur13 A1B?(1,?,?)
22uuuruuur13 A1D?(0,,?)，DC?(1,0,0)，
22
r设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)，则 1
ruuur?13??n?A1D?0z?0?y? ?ruuu，即?2，令z?1得，y?3， r2??x?0?n?DC?0?r所以n?(0,3,1)是平面ACD的一个方向量. ……………..7分 1uuurruuurrA1B?n36cos?A1B,n??uuurr???? ……………..9分
42?2|A1B|?|n|
所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为6. ……………..10分 4zA1M（Ⅱ） 解二：在平面A1DE内作EF?ED， 由BE?平面A1DE，建系如图. 则A1(0,,13)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，22EBNDCyE(0,0,0). ……………..5分
x
uuur13 A1B?(1,?,?)
22uuuruuur13 A1D?(0,,?)，DC?(1,0,0)，
22
r设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)，则 1
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42?2|A1B|?|n|
所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为
6. ……………..10分 4（Ⅲ）解：三棱锥M?ACD和三棱锥N?ACD的体积相等. 11理由如下:
uuur11313方法一：由M(0,,)，N(1,,0)，知MN?(1,,?)，则
24444uuurrMN?n?0
……………..11分
因为MN?平面ACD， 1 ……………..12分
所以MN//平面ACD. ……………..13分 1故点M、N到平面A同底等高，所以体积相11CD的距离相等，有三棱锥M?A1CD和N?ACD等. ……………..14分
方法二：如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN.
因为在?A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，所以MP//A1D 因为在正方形BCDE中，N，P分别是BC，DE的中点，所以NP//CD 因为MPNP?P，MP，NP?平面MNP，A1D，CD?平面ACD 1
……………..11分 ……………..12分 ……………..13分
所以平面MNP//平面ACD 1
因为MN?平面MNP，
所以MN//平面ACD 1故点M、N到平面ACD的距离相等，有三棱锥M?ACD和N?ACD同底等高，所以体积相111等. ……………..14分
A1MEBNPCDBENMA1QDC
法二 法三 方法三：如图，取A1D中点Q，连接MN，MQ，CQ.
因为在?A1DE中，M，Q分别是A1E，A1D的中点，所以MQ//ED且MQ?1ED 2