因为在正方形BCDE中，N是BC的中点，所以NC//ED且NC?1ED 2 所以MQ//NC且MQ?NC，故四边形MNCQ是平行四边形，故MN//CQ……………..11分 因为CQ?平面ACD，MN?平面ACD， ……………..12分 11所以MN//平面ACD. ……………..13分 1故点M、N到平面ACD的距离相等，有三棱锥M?ACD和N?ACD同底等高，所以体积相111等. ……………..14分
5.（朝阳） 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 A
A. 4 B.
4 3C.42 D.42 3
△ADE6. （朝阳）如图1，矩形ABCD中，AD?3.点E在AB边上， CE?DE且AE?1. 如图2，
1800时， 沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A?DE?A1的平面角为?，当??0，① 存在某个位置，使CE?DA1；
A1??② 存在某个位置，使DE?AC1；
A③ 任意两个位置，直线DE和直线AC1所成的角都不相等.
EDCB以上三个结论中正确的序号是C
图2 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
7. （朝阳）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，
?ACB?90，D是线段AC的中点，且A1D? 平面
A1
B1 C1
ABC．
（Ⅰ）求证：平面A11C； 1BC?平面AAC（Ⅱ）求证：B1C//平面A1BD；
（Ⅲ）若A1B?AC1，AC?BC?2，求二面角 A?A1B?C的余弦值. （Ⅰ）证明：因为?ACB?90，所以BC?AC．
根据题意， A1D?平面ABC，BC?平面ABC，所以A1D?BC．
因为A1DA
D
B
C
AC?D，所以BC?平面AAC11C．
又因为BC?平面A11C． ………………4分 1BC，所以平面A1BC?平面AAC（Ⅱ）证明：连接AB1，设AB1A1B?E，连接DE．
A1
B1 E C1
根据棱柱的性质可知，E为AB1的中点， 因为D是AC的中点， 所以DE//B1C．
A
又因为DE?平面A1BD，
D B
C
B1C?平面A1BD，
所以B1C//平面A1BD． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB的中点F，则DF//BC，
因为BC?AC，所以DF?AC， 又因为A1D?平面ABC， 所以DF,DC,DA1两两垂直．
以D为原点，分别以DF,DC,DA1为x,y,z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC?平面AAC11C,
A F x D B C y z A1 B1 C1 所以BC?AC1． 又因为A1B?AC1，BCA1B?B,
所以AC1?平面A1， 1BC，所以AC1?AC所以四边形AAC11C为菱形． 由已知AC?BC?2，
则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，A10,0,3． 设平面A1AB的一个法向量为n??x,y,z?， 因为AA1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以?设z?1，则n?
??????n?AA1?0,??n?AB?0,，即???y?3z?0,
??2x?2y?0.?3,?3,1．
?再设平面A1BC的一个法向量为m??x1,y1,z1?，
????y?3z1?0,?m?CA1?0,因为CA1?0,?1,3，CB??2,0,0?，所以?，即?1
???2x1?0. ?m?CB?0,??设z1?1，则m?0,3,1．
故cos?m,n????m?n?3?17??．
m?n77?2由图知，二面角A?A1B?C的平面角为锐角， 所以二面角A?A1B?C的余弦值为7． …………14分 78.（通州）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC?A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交， 点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是 B
MA1B1C1 A．
23 B． 22NABCC．1 D．2 9. （通州）网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______. 12
D中，AA1?平面ABCD,底面ABCD为梯形， AD//BC，10.(通州)在四棱柱ABCD?A1BC111AB?DC?2，AD?AA1?1BC?2， 2点P，Q分别为A1D1，AD的中点. （Ⅰ）求证：CQ//平面PAC1； （Ⅱ）求二面角C1?AP?D的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点E，使PE与平面PAC1所成角的正弦值是长；若不存在，请说明理由.
D1PC1 A1
B1
D CQA
B
解：（Ⅰ）连接PQ，因为点P，Q分别为A1D1，AD的中点，所以PQ//C1C，PQ?C1C. 所以四边形PQCC1是平行四边形. 所以CQ//C1P.
因为CQ?平面PAC1，C1P?平面PAC1，所以CQ//平面PAC1.……………………4分 （Ⅱ）因为AA1?平面ABCD,AA1//PQ，所以PQ?平面ABCD.……………………5分 所以以Q为坐标原点，分别以直线QA，QP为x轴，z轴建立空间直角坐标系Qxyz，则y轴在平面ABCD内．
214，若存在，求BE的21