自控原理实验指导书
x(s)gd （6） ??(s)Ls2三．实验内容：
球杆系统的开环模型
球杆系统是一个典型的单输入单输出系统，通过上面的分析可以得到，其传递函数可以近似为一个两阶的积分器：
其中，w(s)??(s) W(S)
x(s)x(s)gd? 2?(s)LS为开环传递函数的拉普拉斯变换。X(s)和θ(s)分别为系统输出（小球的位置）和输入（齿轮的角度）的拉普拉斯变换。
1）如果不稳定，则需要对其添加控制器。假设控制的指标要求如下：
? 调整时间小于2.5秒（5%误差） ? 超调量小于10%
下面将采用PID控制来设计它的控制器：
kdS2?kps?kiki, kp??kds?ss其中，kp,ki和kd为PID控制器的比例，积分和微分参数。 1） P控制分析
首先，我们将分析在添加P控制器后，系统的闭环响应，然后，微分和积分控制器将在需要时加。控制系统如下图所示: Gp(s) W(s) e -
其中，Xd为小球目标位置的拉普拉斯变换， 设PID控制器为:Gp(s)?Kp
feedback xd ? x
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1) 根据P控制框图，与对象的传函，求出系统的闭环传递函数。
2) 根据闭环传递函数，取Kp=3，g= 9.8,L=0.4,d=0.04时在matlab下编写程序，画出
系统的阶跃响应曲线。 （参考程序）
g=9.8; L=0.4; D=0.04;
Num=[(g*D)/L]; Den=[ L 0 0];
Plant=tf(Num,Den);%系统的开环传函 kp=3;
Sys_cl=feedback(kp*Plant,1,-1);%求系统的闭环传函 Step(0.2*Sys_cl);%给系统施加一个0.2m的阶跃输入
3) 在球杆系统中进行实验，让小球稳定在一个位置，如50,取参数Kp=3 ,观察实际结
果，得到实际响应曲线，分析实验结果与仿真是否一致。 记录下实际响应的结果。
按照附录的步骤，在MATLAB Simulink 环境下运行演示程序。
2） PD控制分析
控制系统如下图所示:
-
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xd Gpd(s) e ? W(s) x 自控原理实验指导书
设PD控制器为：G（s）=1+KdS
1) 为简单起见，我们假设比例增益KP ＝6，调整KD. 的大小。根据PD控制框图，与对象
的传函，求出系统的闭环传递函数。
2) 根据闭环传递函数，取Kp=6，g= 9.8,L=0.4,d=0.04,Kd=6（可以任取）时在matlab下编
写M文件，画出系统的阶跃响应曲线，观察，判断此时的系统是否为一个稳定的系统，得到仿真条件下，系统的超调量和稳定时间？是否满足设计要求？如果不满足要求，可更改Kp与Kd的值，直到满足系统要求为止。
(参考程序)：g=9.8; L=0.4; D=0.04; Num=[(g*D)/L]; Den=[1 0 0]; Plant=tf(Num,Den); %系统的开环传函 Kp=6; Kd=6; Contr=tf([Kd Kp],1); Sys_cl=feedback(Contr*Plant,1,-1) T=0:0.01:5; Step(0.2*Sys_cl); 3) 在球杆系统中进行实验，让小球稳定在一个位置，如50,取参数Kp ,Kd为仿真的值，观
察实际结果，得到实际响应曲线，分析实验结果与仿真是否一致。 记录下实际响应的结果。
按照附录的步骤，在MATLAB Simulink 环境下运行演示程序。
4)分析一下，PD控制很快平衡的原因，对比实验结果与仿真结果的区别。
四．实验条件：
1）球杆控制 1套 2）微机 1 台 3）matlab软件包 1套
五．其它要求：
实验前教师检查实验预习报告，预习报告要求得到系统的闭环传递函数，编写Matlab程序，预习报告不通过不得进行实验。
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实验四《典型控制系统研究与分析》（选做二） 一．实验目的：
通过对一级倒立摆系统进行分析和实验，学生可以学习对物理系统的建模和控制系统的设计，熟悉PID控制的设计和调节，及各参数对于控制的影响。
二．实验原理及方法：
1 微分方程的推导
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图4.1所示。
图4.1 直线一级倒立摆系统
我们不妨做以下假设：
M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置
φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，和为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
Mx?F?bx?N
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
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d2N?m2(x?lsin?)
dt把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
(M?m)x?bx?ml?cos??ml?sin??F
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
......?2d2P?mg?m2(lcos?)
dt力矩平衡方程如下：
?Plsin??Nlcos??I?
注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+?，cos ?=-cosθ,sin ?=-sinθ,故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程：
..(I?ml)??mglsin???mlxcos?
设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即《1，则可以进行近似处理：cos，，(。用来代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下:
....?2??mlx?(I?ml)??mgl ?.....??(M?m)x?bx?ml??u2....对方程组(1.3)进行拉普拉斯变换，得到 :
..?2?(I?ml)?(s)s2?mgl??mlX(s)s2 ?22??(M?m)X(s)s?bX(s)s?ml?(s)s?U(s)把方程组化简得到一级倒立摆的传递函数为:
ml2s?(s)q ?2)U(s)b(I?ml3(M?m)mgl2bmgls4?s?s?sqqq其中q=[(M+m)(I+ml)-(ml)]
实际系统的模型参数如下:
M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg
b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
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