2012高三数学寒假作业3
（编写人：覃祖光）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请将正确答案填入下面的表格内． 题号 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 得分 (1) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l: x?5?0 的距离小 1. 则点M轨迹方程是 (A) y2?16x (B) y2?20x (C) y2?4x (D) y2?5x (2) 最接近圆的椭圆方程是22
x2y2x2y222 (A) 9x?y?36 (B) ??1 (C) x?9y?36 (D) ??1 16126 10(3) 若椭圆的离心率为
1，左焦点到相应的左顶点的距离为1，则椭圆的长轴长是 2
(C) 2 (D) 23
（A）4 (B)3
x2y2(4) 如果双曲线??1上一点P到双曲线的左焦点距离为 8 ， 那么点P到右准线的距离是643696329632 (A) (B) 7 (C) 7 (D) 5775(5) 探照灯反射镜的轴截面是抛物线 y2?2px (x?0) 的一部分， 光源位于抛物线的焦点处， 已知灯口圆的直径为60cm, 灯深40cm, 则抛物线的焦点位置是 (A) (45454545,0) (B) (,0) (C) (,0) (D) (,0)2481622(6) 若抛物线y?2px与y?2q(x?h)有共同焦点，则p,q,h的关系是
(A)2h?p?q (B)2h?p?q (C)2h??p?q (D)2h??p?q
(7) 过双曲线的一个焦点F1作垂直于实轴的弦PQ，F2是另一个焦点，若?PF2Q?90。则此双曲
线的离心率为
(A)2 (B)2?1 (C)2＋1
(D)
?2?1 2x2y2x2y2(8) 若椭圆??1(m?n?1)和双曲线??1(m?0,n?0)有公共的焦点F1，F2,P是
m1n1m2n24
它们的一个公共点，则PF1?PF2的值是
22(A)m1 ?m2(B) m1?m2 (C)m1?m2 (D) 4(m1?m2)
(9) 若焦点坐标为(0,?52)的椭圆与直线3x?y?2?0相交所得的弦中点的横坐标是
圆的标准方程是
1，则此椭2x2y2??1 (A)
12575x2y2??1 (B)
75125x2y2x2y2??1 (D) ??1 (C)
25757525(10) 我国某颗人造地球卫星的运行轨迹是以地心F为一个焦点的椭圆，若它的近地点A距离地面m公
里，远地点B距离地面M公里，地球半径为R公里，则该卫星轨迹的离心率e是
M－mM－m＋Mm＋M＋m2R （A） （ ） B （C） D （M＋mM＋m＋2R－Mm－Mm(11) 与双曲线x2?4y2?1有相同的渐近线且准线方程为 y??1 双曲线方程是
）x2y2x2y2y2x2y2x2 (A) ??1 (B) ??1 (C) ??1 (D) ??1
2055202055202(12) 已知抛物线y?x?1上一定点B(-1,0)和两个动点P,Q，当BP?PQ时，点Q的横坐标的取值
范围是
(A)(??,?3) (B) [?3,1] (C) [1,??) (D) (??,?3)?[1,??)
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。把答案填在题中横线上．
(13) 与直线2x?y?4?0平行的抛物线y?x的切线方程是 。
2x2y2??1的焦点，在C上满足PF1?PF2的点P的个数为 。 (14) F1、F2是椭圆C：84(15) 函数y?
1
的图象是平面上到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长x
2为 。
(16) 过点M(?1,0)的直线l1与抛物线y?4x交于P1、P2两点，记线段P1P2的中点为P，过点P和
这个抛物线的焦点F的直线为l2,l1的斜率为k，则直线l2的斜率与直线l1的斜率之比可表示为k的函数f(k)? __ ．
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三、解答题：本大题共４小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
（17）（本小题满分8分）
设AB是过抛物线 y2?2px 焦点 F 的任一弦,求证：|AB|?2p
(18) （本小题满分10分）
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s；相关各点均在同一平面上）
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（19）（本小题满分10分）
已知抛物线C:y2?4x，顶点为O，动直线l:y?k(x?1)与抛物线C交于A、B两点 （I）求证：OA?OB是一个与k无关的常数； （II）求满足OM?OA?OB的点M的轨迹方程。
（20）（本小题满分12分）
??????已知向量a?(x,3y),b?(1,0),且(a?3b)?(a?3b).
（Ⅰ）求点Q(x,y)的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线y?kx?m相交于不同的两点M、N，又点A(0,?1)，当AM?AN时，求
实数m的取值范围。
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2012高三数学寒假作业3 参考答案
一、选择题：
(1)Ａ (2)B (3)A (4)A (5)Ｃ (6)D (7)C (8)B (9)C (10)B (11)D (12)D
二、填空题：
(13) 2x?y?1?0 (14) 2 (15) 22 (16) 三、解答题：
(17) 证明： 设 A(x1,y1), B(x2,y2), 则 |AF|?x1?pp, |BF|?x2? ? |AB|?x1?x2?p22p ?抛物线 y2?2px 的焦点F的坐标为 (,0)， 2p ? 当AB?x轴时， x1?x2?,有|AB|?2p2(
p 当AB不垂直于x轴时， 设直线AB的斜率为k,则AB的方程为 y?k(x?) 2p2p222222 代入抛物线方程有 k(x?)?2px， 整理得 kx?(pk?2p)x?k?0242p2p1 ? x1?x2?p?2 ?|AB|?p?2?p?2p (1?2) ?2p (p?0) ? |AB|?2pkkk1,k?(?1,0)?(0,1) 1?k218)．设中心为O，正西的观测点为A，正东的观测点为B，正北的观测点为C，以O为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M在AC的中垂线上，且在以A、B为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，
x2y2??1 ② AC的中垂线：y??x ① 双曲线：268057800068?x????2?解①②得
?y?68 ∴巨响位于西北方向，距中心为68m。 ?2?22y12y2y12y2,y1),B(,y2),l过顶点E?1,y1),EB?(?1,y2),(19) 解（I）设A(（－1，0），则EA?(44442y12y2yy?1)y2?(?1)y1,即1(y1?y2)?y1?y2，因由E、A、B三点共线，知EA//EB, 所以，(444为y1?y2，所以y1y2?4
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