向量的重心、垂心、内心、外心、旁心
三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心：?ABC中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：?ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；
内心：?ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：?ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心
1、O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0
1若O是?ABC的重心，则?BOC??AOC??AOB??ABC故OA?OB?OC?0,
31PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.
312、 P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC).
3证明：
PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心
∴GA?GB?GC?0?AG?BG?CG?0，即3PG?PA?PB?PC
1由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））
3，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足3、已知O是平面上一定点，A??????????????????)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心. OP?OA??(AB?AC)，??(0，
?????????????例1 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
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二、垂心
1、O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OA?OC 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则 故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0
2、H是面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC, 同理HC?AB，HA?BC.故H是?ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 3、P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的垂心． ????????????????????????????????????????????由PA?PB?PB?PC，得PB?(PA?PC)?0，即PB?CA?0，所以PB⊥CA．同理
????????????????可证PC⊥AB，PA⊥BC． ∴P是△ABC的垂心．如图1.
AECMB
CP
图1
PAOHF图⑷ B，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足4、已知O是平面上一定点，A??????????????????ABAC?，??(0，OP?OA?????????????)，则动点P的轨迹一定通过??ABcosBACcosC???△ABC的垂心．
例2 P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（） A．外心
B．内心 C．重心 D．垂心
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三、内心
1、O是?ABC的内心的充要条件是
???????ABAC??BABC??CACB?OA???????OB????OC????0
?ABAC??BABC??CACB???????
引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是?ABC的内心的充要条件可以写成
B A e1e2C P OA?e1?e3?OB?e1?e2?OC?e2?e3?0
2、O是?ABC的内心的充要条件也可以是a?OA?b?OB?c?OC?0。 3、若O是?ABC的内心，则S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c
故 a?OA?b?OB?c?OC?0或者sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0;
4、已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB?c，AC?b，BC?a ．若?????????aIA?bIB?cIC?0，则I是△ABC的内心．
?????????????????????????????????????∵IB?IA?AB，IC?IA?AC，则由题意得(a?b?c)IA?bAB?cAC?0，
?????????????????????????????????????????ABAC∵bAB?cAC?AC?AB?AB?AC?AC?AB????????????ABAC??????????????bc?ABAC?∴AI??????????．
a?b?c?ABAC???????????A????????ACAB∵????与????分别为AB和AC方向上的单位向量，
ACAB???∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分?BAC．
cIC??， ??Bab
同理可证：BI平分?ABC，CI平分?ACB．从而I是△ABC的内心，如图。
，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足5、已知O是平面上一定点，A第 3 页 共 10 页
???OP?????OA????????????AB?????????AC????，??(0，??)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的内?ABAC??C心．
O由题意得???AP????????????AB???????????AC??ABAC??，
?P∴当??(0，??)时，???AP?表示?BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点AP的
轨迹一定通过△ABC的内心，如图。
例3 O平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA??(AB?ABCAB?ACAC)，???0,???则P点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
四、外心
1、O是?ABC的外心?OA?OB?OC,若O是?ABC的外心则
S?BOC:S?AOC:S?AOB?sin?BOC:sin?AOC:sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 故sinAOA?sinBOB?sinCOC?0。
2、 已知O是△ABC所在平面上一点，若????OA?2?????OB?2?????OC?2，则O是△ABC的外心．
若???OA?2????OB?2????OC?2，则???OA?2?OB????2OC?????2，∴???OA??OB????O?C????，则O是△ABC的外心，如图1。
C B ABMP
O图1
2
O图AC
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B
，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足3、已知O是平面上的一定点，A??????????????????????OB?OCABAC?，??(0，OP????????????则动点P的轨迹一定通??)，??ABcosBACcosC?2??过△ABC的外心，如图2。
????????????例4 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC，则O 是?ABC 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
关于“欧拉定理”的一些问题：
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
例5 在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
证明：
以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
xx?x2y2xyxD（1,0)、E(1,)、F(2,2) 由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4),
222222?????????xx1?x2y2xyG(,)?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3)
33222????BC?(x2?x1,y2)
y C(x2,y2) ??????????AH?BC??????????AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0
x(x?x1)?y4??22y2F G Q A 第 5 页 共 10 页
H E x B(x1,0) D