??????????QF?AC?????????xxy?QF?AC?x2(2?1)?y2(2?y3)?0
222x(x?x1)y2?y3?22?2y22?????x2x?x13x2(x2?x1)y2?QH?(x2?1,y4?y3)?（2,??)
222y22????x?xxy2x?x1y2x2(x2?x1)y21?QG?(2?1,2?y3)?（2,??)323632y222x2?x13x2(x2?x1)y212x?x13x2(x2?x1)y2,??)?(2,??) 66y26322y22?1???? =QH3?????????2 即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG:GH?1： ?(
例6．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证
OH?OA?OB?OC.
证明
若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴AD?AB，CD?BC.又垂心为H，AH?BC，CH?AB， ∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AH?DC?DO?OC，故OH?OA?AH?OA?OB?OC.
“欧拉定理”简化：
例7 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证 OG?OH 证明
按重心定理 G是△ABC的重心?OG?(OA?OB?OC) 按垂心定理 OH?OA?OB?OC 由此可得 OG?OH.
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补充练习一： 1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是?ABC的重心，动点P满足
111OP= (OA+OB+2OC),则点P一定为?ABC （ ）
232A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.AB边的中点
2．在同一个平面上有?ABC及一点Ｏ满足关系式：
OA2?BC2?OB2?AC2?OC2?AB2，则Ｏ为?ABC的 （ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
????????????2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA?PB?PC?0， 则P为?ABC的 ( )
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OP?OA??(AB?AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足： ????????????????????????PA?PC?PA?PB?PB?PC?0，则P点为三角形的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：????????????则P点为三角形的 a?PA?b?PB?c?P0C?，（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：CA?CB?2AB?CP，则P点轨迹一定通过△ABC（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
的
22：
???ABAC?ABAC17.已知非零向量AB与AC满足???BC?0,且??， 则??ABAC?ABAC2???ABC为
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
8.?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = 。
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9.点O是?ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是
?ABC的（）
A 三个内角的角平分线的交点 C 三条中线的交点
B 三条边的垂直平分线的点 D 三条高的交点
10. 已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，
?????????????????11且AM?xAB，AN?yAC，则??3。
xy
???????????? 证 点G是?ABC的重心，知GA?GB?GC?O，
????1????????????????????????????AG?(AB?AC)。又M，N，G三点共线得?AG?(AB?AG)?(AC?AG)?O，有
3（A不在直线MN上），
????????????? 于是存在?,?，使得AG??AM??AN(且????1)，
?????????????????1??? 有AG??xAB??yAC=(AB?AC)，
3?????111???3。 得?，于是得1xy?x??y??3?
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补充练习二： 1、已知O是△ABC内的一点，若OA?OB?OC，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、在△ABC中，有命题①AB?AC?BC；②AB?BC?CA?0；③若
222?AB?AC???AB?AC??0，则△ABC为等腰三角形；④若AB?AC?0，则?ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
???ABAC?ABAC13、已知△ABC中，有?和??,试判断△ABC的形??BC?0??ABAC?ABAC2??状。
4、已知△ABC中，AB?a，BC?b，B是△ABC中的最大角，若a?b?0，试判断△ABC的形状。
5、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足
OA?BC?OB?AC?OC?AB，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
6、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
222222???ABAC?OP?OA?????,???0,???，则动点P一定过△ABC的〔 〕
?ABAC???A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
1??OP?OA???AB?BC?,???0,???，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2??A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
8、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足
???ABAC? OP?OA?????,???0,???，则动点P一定过△ABC的〔 〕
?ABcosBACcosC???A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
9、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足
???OB?OCABAC?OP??????,???0,???，则动点P一定过△ABC的
2?ABcosBACcosC???第 9 页 共 10 页
〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且
11AM?x?AB,AN?y?AC，求证：??3
xy
补充练习三： 1、已知O是△ABC内的一点，若OA?OB?OC?0，则O是△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且OA?OB?OC?0，则OA?OB等于〔 〕
11A、 B、0 C、1 D、?
223、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若
a?OA?b?OB?c?OC?0，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB?AC?3AP，则P是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA?OB?OC?0，OA?OB?OC?1求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求OA?(OB?OC)
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