MEAE∴ ＝．
BCPC
1
可得ME＝－（x－2）2＋2．???????8分
2∵ x＞0，8－2x＞0， ∴ 0＜x＜4． 1
又∵ －＜0，
2
∴ 当x＝2时，ME的长度最大为2．???????9分 连接AP，
∵ AE＝x＝2，
∴ AC＝BC＝PC＝4． ∵ PC ⊥AB， ∴ ∠PCA＝90°，
∴ 在Rt△ACP中，∠PAC＝∠APC＝45°． 同理可得∠CPB＝45°． ∴ ∠APB＝90°．
即AP⊥PB． ???????10分 又∵ ∠PCA＝90°， ∴ AP为直径．
∴ 直线PB与该圆相切．???????11分 25.（本题满分14分） （1）（本小题满分7分） ①（本小题满分3分）
解：当t＝－2时，二次函数为y＝ax2＋bx－3． 把（1，－4），（－1，0）分别代入y＝ax2＋bx－3，得
?a＋b－3＝－4，???????????1分 ?a－b－3＝0．?a＝1，解得?
?b＝－2．
所以a＝1，b＝－2．??????????3分 ②（本小题满分4分）
解法一：因为2a－b＝1，
所以二次函数为y＝ax2＋（2a－1）x－3．
所以，当x＝－2时，y＝－1；当x＝0时，y＝－3． 所以二次函数图象一定经过（－2，－1），（0，－3）．??????????6分 设经过这两点的直线的表达式为y＝kx＋p（k≠0）， 把（－2，－1），（0，－3）分别代入，可求得该直线表达式为y＝－x－3．????7分
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即直线y＝－x－3始终与二次函数图象交于（－2，－1），（0，－3）两点．
解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kx＋p＝ax2＋（2a－1）x－3． 整理可得ax2＋（2a－k－1）x－3－p＝0． 可得△＝（2a－k－1）2＋4a（3＋p）．????4分
若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则△＞0． 化简可得4a2－4a（k－p－2）＋（1＋k）2＞0． 因为无论a取任意不为零的实数，总有4a2＞0，（1＋k）2≥0 所以当k－p－2＝0时，总有△＞0．?????????6分 可取p＝1，k＝3．
对于任意不为零的实数a，存在直线y＝3x＋1始终与函数图象交于不同的两点．????7分
（2）（本小题满分7分）
解：把A（－1，t）代入y＝ax2＋bx＋t－1，可得b＝a－1．?????????8分 因为A（－1，t），B（m，t－n）（m＞0，n＞0），
1
又因为S△AOB＝n－2t，
2
1111
所以[（－t）＋（n－t）]（m＋1）－313（－t）－3（n－t）m＝n－2t．
2222解得m＝3．?????????10分 所以A（－1，t），B（3，t－n）． 因为n＞0，所以t＞t－n． 当a＞0时，【二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x≤3时，若点A为该函数图象最高点，则yA≥yB】，分别把A（－1，t），B（3，t－n）代入y＝ax2＋bx＋t－1，得
t＝a－b＋t－1，t－n＝9a＋3b＋t－1． 因为t＞t－n，
所以a－b＋t－1＞9a＋3b＋t－1． 可得2a＋b＜0． 即2a＋（a－1）＜0．
1
解得a＜．
31
所以0＜a＜．
3
当a＜0时，
由t＞t－n，可知：
【若A，B在对称轴的异侧，当－1≤x≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A； b
若A，B在对称轴的左侧，因为当x≤－时，y随x的增大而增大，所以当－1≤x≤3
2a时，点A为该函数图象最低点；
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b
若A，B在对称轴的右侧，因为当x≥－时，y随x的增大而减小，所以当－1≤x≤3
2a时，若点A为该函数图象最高点，则】
－
b
≤－1． 2a
a－1即－≤－1．
2a
解得a≥－1．
所以－1≤a＜0．?????????13分
1
综上，0＜a＜或－1≤a＜0．?????????14分
3
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