两个零点，及有解，则存在解，且，由图象可知，
，且，，所以，令
，通过求导，可知的范围是。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知双曲线经过点__________． 【答案】
,由点
在双曲线上,有
，其一条渐近线方程为
，则该双曲线的标准方程为
【解析】由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为
,所以 ,故双曲线方程为 .
14. 已知函数__________． 【答案】1 【解析】解析：因
，若正实数满足，则的最小值为
，故由题设可得时，即，应填答案1。
，则
15. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）
，
，点在线段
上，且
的外接球，
，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的
取值范围是__________． 【答案】
【解析】令的中心为，球的半径为，连接
，易求得
勾股定理得
，解得，所以
时截面圆的半径
，由
，则
，知．当截面与
，在
，所以
中，由
垂直时，截面的面积最小，此
，此时截面面积为．当截面过球心时，截面圆的面积最大，
．
此时截面圆的面积为．故本题应填
点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
16. 已知为坐标原点，为抛物线
的焦点，若抛物线与直线
在第一、
四象限分别交于【答案】
两点，则的值为__________．
【解析】
直线过焦点，
，则，所以，
所以。
点睛：本题中首先要观察得到直线过抛物线焦点，通过作图，结合抛物线的几何意义，得到
，
，联立直线与抛物线方程，解出
，
，代入
，求出答案。
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在
中，
，为边
上的点，为
上的点，且
，
，
.
（1）求（2）若
的长；
，求；（2）
的值. .
【答案】（1）
试题解析：（1）由题意可得在
中，由余弦定理得
，
所以整理得解得：故
的长为
． 。
中，由正弦定理得
， ，
，
（2）在，
即
所以所以
．
，
因为点在边而所以所以所以
，
上，所以，
只能为钝角，
，
．
18. 现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质
地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.
（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率； （2）用数学期望
分别表示这4个人中选择.
题目的人数，记
，求随机变量的分布列与
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择题目的概率为，选择题目的概率为，则
，所以这4人中恰有一人选择题目的概率为
；（2）的所有可能取值为0，3，4，
，
试题解析：
由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为， 记“这4个人中恰有人选择题目”为事件∴
，
.
，
，写出分布列，并求期望。
（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为（2）的所有可能取值为0，3，4，且
，
∴的分布列是
.
，
所以
19. 如图1，在矩形交
于点，
交
中，于.现将
. ，沿
，点
分别在边
上，且平面
，
，
折起，使得平面，得到图2.
图1 图2
（1）在图2中，求证：（2）在图2中，若点是线段值为.
【答案】（1）证明见解析；（2）点在线段【解析】试题分析：(1)先证明
;
(2)建立直角坐标系,设式,结合二面角
,求出平面
、平面
的一个法向量,利用向量的夹角公
的四等分点.
,证明
平面
,从而可得
；
上的一动点，问点在什么位置时，二面角
的余弦
,再证明
的余弦值为,即可得出结论.
中，， ∴
，平面， ∴且
. ，平面
， ，∴四边形
为平行四边形. 平面
， 即
,
.
,
试题解析：（Ⅰ）∵在矩形∴
∴在图2中，又∵平面∴
平面
∥
依题意，