河南科技大学
2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准
科目代码： 856 科目名称： 高等代数
一、（15分）计算下列各题：
1、（5分）已知4阶行列式D的第3行元素分别为 ?1,0,2,4，第4行元素对应的余子
式依次是5,10,a,4，求a的值。
?1?20???0?，求矩阵A。 2、（5分）已知矩阵A,B满足关系AB?B?A，其中B??21?002???3、（5分）设A为3阶方阵A的伴随矩阵，A=2，计算行列式|(3A)解：1、因为 a31A41?a32A42?a33A43?a34A44?0，??(3分) 这里aij和Aij分别是第i行第j列处的元素和该元素的代数余子式，
*
?1?1*A|。 221。??(5分) 21??0??12??1?110?，2、 因为AB?A?B，所以A(B?E)?B，A?B(B?E)?????(5分)
?2??002?????1*1?12?123?14?1?13、|(3A)?A|=|A?A|=|?A|=(?)|A|=?。??(5分)
233327011?1（-5）?0?10?2?（?a）?4?4?0，可得a?所以有 ?1?10x?x二、（15分）计算n(n?3)阶行列式：Dn?1x0?x 。（注释：该行列式主对角
?????1xx?0线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其
第 1 页 （共9页）
余的元素都是x。要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。
解（法一）：
011?1011?110x?x1?x0?Dn?1x0?xr1?(?x)?ri,(i?2,3,?,n)10?x??1?x???x?0?1?0?000??(6分) ????x当x?0时，再把第j列的
1倍加到第1列（j?2,3,?,n），就把Dn化成了上三角行列式 xDn?n?11x0?x0?00?010??100??(?1)n?1(n?1)xn?2 ， ??(12分)
?x???0??x当x?0时，显然有Dn?0。所以总有
Dn?(?1)n?1(n?1)xn?2。 ??(15分)
（法二）：把第2行的（-1）倍分别加到第3,4,?,n行，得
0110Dn???1x?001?????10?1x0?01x0?0?x1n?11?110?
??(6 分)0x?x?0x0x1??x再按第一列展开，得
x?x?Dn????xx0000l,(i?2,?3,n,?)?li?1?100?x?0?????x0?0?x0??x00?0?x分 )?(?1)n?1(n?1)xn?2。 ??(15第 2 页 （共9页）
三、（30分）证明下列各题
1、（10分）如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。
2、（10分）A为n阶方阵，如果A?A，则：秩(A?E)?秩(A)=n，其中E是n阶单位矩阵。
3、（10分） ?是线性空间V上的可逆线性变换，则?的特征值一定不为0。 解：1、令p(x)是f(x)g(x)和f(x)?g(x)的任一个公因式，则p(x)整除f(x)和g(x)之一，比如说整除f(x)，那么也整除(f(x)?g(x))?f(x)?g(x)，??(4分) 这也就说明p(x)是f(x)和g(x)的公因式，??(8分)
由(f(x),g(x))?1，可知(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。??(10分)
2、由于A?A，所以A(A?E)?0，所以 秩(A?E)?秩(A)?n，??(4 分)又因为 A?(E?A)?E，所以 秩(E?A)?秩(A)?秩(E)?n，??(8分) 而 秩(E?A)?秩(A?E)，??(9分) 所以有 秩(A?E)?秩(A)=n。??(10分)
3、设向量?是线性变换?的关于特征值?的特征向量，则?????，??(3分) 用线性变换?的逆变换??122作用上面式子的两端，则有???(??1?)，??(6分)
由于特征向量??0，所以??0。??(10分) 四、（15分）设4元齐次线性方程组?i?为??x1?x2x2??0?x4?0，又已知某4
?0???1?????12元齐次线性方程组?ii?的通解为：k1???k2??,(k1,k2为任意常数)。
?1??2?????0???1?（1）（5分）求方程组?i?的基础解系；
第 3 页 （共9页）
（2）（10分）问方程组?i?与?ii?是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。
解：（1）把方程组?i?的系数矩阵化成简化行阶梯形
?1100??1001?A??????，??(2分)
?010?1??010?1??0???1?????01求得线性无关的两个解向量为：?1???,?2???，??(4分)
?1??0?????0???1??0???1?????01则 ?1???,?2???为方程组方程组?i?的基础解系。??(5分)
?1??0?????0???1??0???1???k2??????k?2k?1212?,(k,k为任意常数) （2）（解法一）：方程组?ii?的通解 k1???k2?????1??2??k1?2k2?12??????k01?????2?中满足方程组?i?的解既是?i?和?ii?的公共解，将?ii?的通解代入方程组?i?，得
??k2?k1?2k2?0，??(5分) ?k?2k?k?0?122解得k1??k2，故当k1??k2??k?0时，向量
?0???1??0???1???1???????????12121??????????k1?k??k?k?k,(k为任意非零常数)满足方程组?i?，它当然?1?2?2??1??2??1???????????0101?????????1?第 4 页 （共9页）
??1????1?也是方程组?ii?的解，故方程组?i?与?ii?有非零公共解 k??，(k为任意非零常数)。
1???1?????(10分)
（解法二）： 为确定方程组?i?与?ii?的非零公共解，也可以令?i?与?ii?的通解相等，即令：
?0???1??0???1??????????0??1??1??2??1????2???k1???k2??，??(5分)
1012?????????0??1??0??1?????????1???1??0??0?10???????01?1?2???2??0??得到齐次线性方程组：?，??(7分)
10?1?2??k1??0????????01????0?1????k2??0?解得，?1??2?k2,公共解为：
k1??k2(k2为任意非零常数)，由此得到方程组?i?与?ii?的非零
?0???1??0???1???1????????????0??1??1??2??1?（k2为任意非零常数）??(10分) ?1????2???k1???k2???k2??，
10121???????????0??1??0??1??1???????????五、（20分）设实二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2?x2x3通过正交线
222性变换X?PY化成标准形f?2y1?2y2??y3，求常数?,?的值及所用的正交
222线性变换矩阵P。
解：实二次型以及标准形所对应的矩阵分别为
?1?1?A???11??1????1??2???????，B??2?，??(3分)
?1??????由于上面两个矩阵相似，所以主对角线上的元素之和相等，得到 ???1，??(6分)
第 5 页 （共9页）