?1因为 A?2E??1?1?1???0，所以得到??1。??(9分) ?1?1?1??求?1?2对应的特征向量，解方程组?2E?A?X?0，
??1???1?????得到方程组?2E?A?X?0的两个正交的解为 ?1??1?,?2???1?，??(13分)
?0??2??????1??1???????62?????1??1?单位化?1??,??2???，??(14分) ?26?????2??0????????6?求?2??1对应的特征向量，解方程组??E?A?X?0，
?1???得到方程组??E?A?X?0的解为 ?3??1?，??(17分)
?1???????单位化?3??????1??3?1??。??(18分) 3?1??3??1??2??1?3????2??0?161?626?1??3?1??。??(20分) 3?1??3?则所用的正交变换矩阵为 P???1?2
六、（15分）符号L(?1,?2,?,?m)表示由向量?1,?2,?,?m生成的子空间。设有子空间
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?????x1??x1?????????xx????V1?????2?x1?x2?x3?x4?0?，V2?????2?x1?x2?x3?x4?0?。
?x3??x3??????????????x4??x4?????（1）（5分）将V1和V2用符号L(?1,?2,?,?m)的形式表示出来； （2）（10分）求子空间V1?V2和V1?V2的维数和一组基。
解：（1）。解线性齐次方程组x1?x2?x3?x4?0得到子空间V1的基础解系统：
??1???1???1???????100?????? ，??(2分) ?1?,?2?,?3??0??1??0???????00?????1?同样道理可以得到子空间V2的基础解系统：
?1???1??1???????100??????，??(4分) ?1?,?2?,?3??0??1??0???????00?????1?所以V1?L(?1,?2,?3)，V2?L(?1,?2,?3)。??(5分) （2）。显然可以看出，子空间V1和V2的维数都是3
V1?V2?L(?1,?2,?3,?1,?2,?3)，??(2分)
矩阵经过行初等变换后可以得到：
?1?0(?1,?2,?3,?1,?2,?3)???0??00100001000010?1??00?，??(4分)
01??00?所以可以看出向量?1,?2,?3,?1是V1?V2的一组基，从而V1?V2的维数是4。??(6分) 由公式： 维(V1)?维(V2)?维(V1?V2)?维(V1?V2)，可知：维(V1?V2)?2，??(8分)
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解方程组??x1?x2?x3?x4?0可以得到V1?V2的一组基：
?x1?x2?x3?x4?0??1??0?????0?1?1???,?2???。??(10分)
?1??0?????0???1?七、（10分）列向量?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是R空间的两组基，线性变换?在
n?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n下的矩阵分别为A和B，证明：A和B是相似的.
证明： 设可逆矩阵P是基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过度矩阵，即：
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)P，??(5分)
因为 ?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)A，?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)B， 所以
?(?1,?2,?,?n)??((?1,?2,?,?n)P)?(?1,?2,?,?n)AP?(?1,?2,?,?n)P?1AP,根据同一线性变换在同一组基下的矩阵是惟一的，可以得到
??(8分)
B?P?1AP，也即矩阵A和B是相似的。??(10分)
八、（15分）如果向量?可以由向量组?1,?2,?,?m线性表出，证明：表示方法是惟一的充 分必要条件是向量组?1,?2,?,?m线性无关的。
证明：（必要性）设?由向量组?1,?2,?,?m线性表出且表示方法惟一为：
??l1?1?l2?2???lm?m，
设u1?1?u2?2???um?m?0，则有
??(l1?u1)?1?(l2?u2)?2???(lm?um)?m，??(5分)
由于表示方法惟一，所以可以得到：ui?0,(i?1,2,?,m)， 故?1,?2,?,?m线性无关。??(8分)
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（充分性）假设有两种表示方法：
??l1?1?l2?2???lm?m 和
??u1?1?u2?2???um?m，
上面两式相减得到：(l1?u1)?1?(l2?u2)?2???(lm?um)?m?0， 因为?1,?2,?,?m线性无关，所以有li?ui?0,i?1,2,?,m 说明表示方法惟一。??(15分)
九、（15分）设A是m阶实对称矩阵且正定，B为m?n实矩阵，B?为B的转置矩阵，证明
B?AB 为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n。
解：（必要性）因为B?AB 为正定矩阵，所以对任意的列向量x?0，有x?(B?AB)x?0，即
(Bx)?A(Bx)?0，于是 Bx?0。??(5分)
因此，方程Bx?0只有零解，从而r(B)?n。??(8分)
（充分性）由于 (B?AB)??B?A?B?B?AB，故B?AB为实对称矩阵。??(10分)
如果r(B)?n，则线性方程组方程Bx?0只有零解，从而对任意的n维实列向量x?0，
有Bx?0。??(13分)，
又A是正定矩阵，所以对于Bx?0有(Bx)?A(Bx)?0，于是当x?0时，x?(B?AB)x?0。 故B?AB 为正定矩阵。??(15分)
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