5.3 平面向量的数量积
一、填空题
1. 已知向量a和向量b的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a·b= . 解析 考查数量积的运算. a·b =2×3?答案 3
2．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
解析 ∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b，即|a||b|·cosθ＝|b|，当b≠0时， ∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]． 答案 [0,1]
π
3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于
3________．
2
解析 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋e1·e2＋2e2
2
2
3=3. 2＝－6＋cos7
答案 － 2
π17＋2＝－4＋＝－. 322
4．已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(3，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 解析 由a＝(3，1)，得|a|＝2，所以|a＋2b|＝
a＋2b2
＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋8cos 60°＋4＝12＝23. 答案 23
→→
5．在△ABC中，已知BC＝2，AB·AC＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________． 解析 以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y) →→
则AB＝(－1－x，－y)，AC＝(1－x，－y)，
→→
于是AB·AC＝(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.
→→
由条件AB·AC＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即 1
S△ABC＝×2×2＝2.
2
【点评】 建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.
2?的两个单位向量, a=e1-2e2,b=ke1+e2, 3若a·b=0,则实数k的值为 .
6.已知e1,e2是夹角为
解析 由a·b=0得（e1-2e2）·（ke1+e2）=0. 整理,得 k- 2+（1-2k）cos答案
5 42?5=0,解得k=. 34→→→→→
7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝________.
解析 法一 建系如图所示． 令B(xB,0)，C(xC，yC)，D(0,1)， →
所以BC＝(xC－xB，yC)，
→
BD＝(－xB,1)，→
→
BC＝3 BD， ??xC－xB＝3所以?
??yC＝3，
－xB，
所以xC＝(1－3)xB，yC＝3. →
→
→
→
AC＝((1－3)xB，3)，AD＝(0,1)，则AC·AD＝3.
→→→→→→→→→
法二 AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD＝3AD·BD， →
→→→→→→→
|AD|
其中AD·BD＝|AD||BD|cos ∠ADB＝|AD||BD|·＝AD2＝1.
→|BD|
→答案
3
→
→
故3 AD·BD＝3.
→→→→12
8．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝
63________.
?331?
解析 建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，则M?，?，
22??→→
?31??35?
MA·MB＝?，－?·?－，?＝－2.
2??22??2答案 －2
9．已知向量p的模是2，向量q的模为1，p与q的夹角为
π
，a＝3p＋2q，b＝p4
－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________． 解析 |a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q| ＝＝
p＋3q2
＝4p2＋12p·q＋9q2 2＋9 2
8＋122×
＝29. 答案
29
10．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠
AOB的平分线上，且|→OC|＝10，则点C的坐标是________．
4
解析 法一：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，直线OB方程为y＝x，因点
3
|4x－3y|
C在∠AOB的平分线上，所以点C到直线OB与y轴的距离相等，从而＝5
?x＝－1，
|x|.又x＋y＝10，解之得?所以点C的坐标是(－1，－3)．
y＝－3，?
法二：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，则因点C在∠AOB的平分线上，所以由
－y－3x－4ycos〈→OC，→OA〉＝cos〈→OC，→OB〉得＝.又x2＋y2＝10，解之得
1·10510
2
2
?x＝－1，
?
?y＝－3，
所以点C的坐标是(－1，－3)．
答案 (－1，－3)
→→→→→
11．已知O是△ABC的内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．
→
→
→
→
解析 由AB·AC＝|AB||AC|cos 60°＝2，
→→→→→→→
1
得|AB||AC|＝4，S△ABC＝|AB||AC|sin 60°＝3，由OA＋OB＋OC＝0知，
2
O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝答案
3 3
133. 3
→→→→→
12．已知点G是△ABC的重心，AG＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，AB·AC→
＝－2，则|AG|的最小值是________．
解析 设AG交BC于D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点， →→→→
221
所以AG＝AD＝·(AB＋AC)
332
→→→→→112
＝(AB＋AC)，所以|AG|＝(AB＋AC)2 39→→→→1
＝(|AB|2＋|AC|2－4)，又由－2＝AB·AC 9→→→→
＝|AB||AC|cos 120°，得|AB||AC|＝4，
2
故当|AB|＝|AC|＝2时，|AG|取最小值.
3答案
2 3
→
→
→
2
→→→
→
13．已知△ABC所在平面上的动点M满足2AM·BC＝AC－AB2，则M点的轨迹过△
ABC的________心．
→
→
→
→
→
→
→
→
解析 如图，设N是BC的中点，则由2AM·BC＝(AC－AB)·(AC＋AB)＝BC·2AN，
→→→→→
得(AM－AN)·BC＝0，即NM·BC＝0，
→→
所以NM⊥BC，所以M点的轨迹过△ABC的外心． 答案 外心 二、解答题
14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2. (1)求a·b的值； (2)求|a＋b|的值． 解析 (1)因为|a－b|＝2，
所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4＋1－2a·b＝4. 1
所以a·b＝.
2
1
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×＋1＝6.
2故|a＋b|＝6.
15．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围． 解析 由条件知，cos45°＝
a·b，∴a·b＝3，
|a|·|b|设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，