a＋λbλa＋b<0，
|a＋λb|·|λa＋b|
∴(a＋λb)·(λa＋b)<0. λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0， ∴cosθ＝
∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0， －11－85－11＋85∴<λ<.
66
若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反， ∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，
?kλ＝1，
∵a，b不共线，∴?
λ＝k.?
∴k＝λ＝－1， －11－85－11＋85∴<λ<且λ≠－1.
66
16．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值； (2)设α＝
π
，且a⊥(b＋c)，求cos β的值． 4
解析 (1)因为b＋c＝(cos β－1，sin β)，
所以|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2 β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1，所以0≤|b＋c|≤4，
即0≤|b＋c|≤2，故当cos θ＝－1时，向量b＋c的长度取最大值2. ?2π2?
(2)若α＝，则a＝?，?，
42??2
又b＋c＝(cos β－1，sin β)，所以a·(b＋c)＝因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，
即cos β＋sin β＝1，平方得cos β sin β＝0， 所以cos β＝0或cos β＝1.
经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝7，AD是∠BAC的平分
222
cos β＋sin β－. 222
2
线．
(1)求证：DC＝2BD；
→→
(2)求AB·DC的值．
解析(1)证明 在△ABD中，由正弦定理得在△ACD中，由正弦定理得
ABsin ∠ADB＝
BDsin ∠BAD. ①
ACsin ∠ADC＝DCsin ∠CAD. ②
又AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD，sin ∠BAD＝sin ∠CAD， 又sin ∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin ∠ADC， 由①②得
BDAB3
＝＝，所以DC＝2BD. DCAC6
→
→2
(2)因为DC＝2BD，所以DC＝BC.
3
AB2＋BC2－AC2
在△ABC中，因为cos B＝
2AB·BC32＋72－6211＝＝. 2×3×721→→→?→?
2? 所以AB·DC＝AB·??3BC???→→2
＝|AB||BC|cos(π－B) 3222?11?
＝×3×7×?－?＝－. 33?21?
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是△ABC的重心，且
→
(1)求角B的大小；
(2)设m＝(sin A，cos 2A)，n＝(4k,1)(k>1)，m·n的最大值为5，求实数k的值．
→
→
→
解析 (1)由G是△ABC的重心，得GA＋GB＋GC＝0，
→
→
56sin A·GA＋40sin B·GB＋35sin C·GC＝0.
→→→
所以GC＝－(GA＋GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为
→
→
→
→→
?56a－35c＝0，
因为GA，GB不共线，所以?
?40b－35c＝0.得a∶b∶c＝5∶7∶8.
不妨设a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理，
→
→
→
56a·GA＋40b·GB＋35c·(－GA－GB)＝0. 整理，得(56a－35c)·GA＋(40b－35c)·GB＝0.
由此，
a2＋c2－b252＋82－721
得cos B＝＝＝.
2ac2×5×82因为0 π . 3 (2)m·n＝4ksin A＋cos 2A＝－2sin2A＋4ksin A＋1， 由(1)得B＝ 2π?π2? ，所以A＋C＝π，故得A∈?0，?. 3?33? 设sin A＝t∈(0,1]，则m·n＝－2t2＋4kt＋1，t∈(0,1]． 令f(t)＝－2t2＋4kt＋1，则可知当t∈(0,1]，且k>1时，f(t)在(0,1]上为增函数，所以，当t＝1时，m·n取得最大值5.于是有：－2＋4k＋1＝5， 33 解得k＝，符合题意，所以，k＝. 22 高考资源网 w w w.ks5u.com 高 考 资源 网