江南大学现代远程教育2009年下半年第三阶段测试卷
一．选择题(每题4分) 1. 设f(y?x,xy22)?y?x, 则f(x,y)? ( d ).
(a)
y(1?x)1?x2 (b)
y(1?x)1?x2 (c)
x(1?x)1?x2 (d)
x(1?y)1?y2
2. 设函数 z?f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某邻域内有定义, 且存在一阶偏导数, 则
?z?yx?x0y?y0?( b )
(a) limf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?yf(y0??y)?f(y0)?y?y?0 (b) limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y
?y?0(c) lim?y?0 (d) limf(x0??x,)?f(x0,y0)?y
?y?03. 若D是平面区域{1?x2?y2?9}, 则??dxdy=( b )
D(a) 7? (b) 8? (c) 9? (d) 10? 4. 下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( b )
(a) xy??y3?2 (b) y??2xy?cosx (c) yy??2x (d) y?2?xy?1 5. 微分方程 x?y?(y?x)y??0 的通解是 ( d ). (a) arctan(c) arctanyxyx?12ln(x?y)?C (b) arctan2222yxyx?ln(x?y)?C ?12ln(x?y)?C
2222?ln(x?y)?C (d) arctan二.填空题(每题4分) 6. 设 z?xy, 则
3?z?xx?1y?3?
272
7. 设 z?cot(y?xy), 则
2?z?y2? (2y?x)csc(y?xy)
22y8. 设z?ex?xsiny, 则
?z?x?yxy2= ?1x2yex?yx3yex?cosy
9. 设 z?ln(3y?2x)?e, 则 dz= (?23y?2x?2xyexy2)dx?(33y?2x?xe2xy2)dy
elnx1e10. 交换二次积分次序 I??dx?10f(x,y)dy=
?dy?0ef(x,y)dy
y11. 微分方程
dudvdydx44?u?3v 的自变量为 ? , 未知函数为 u , 方程的阶数为 4
12. 微分方程 ?1xy?0 的通解是
y22?lnx?C
三. 解答题 (满分52分)
13. 设 z?z(x,y) 是由方程 ez?x2y?cos(x?z)?0 所确定的隐函数, 求 dz
e?xy?cos(x?z)?0?d(e?xy?cos(x?z))?0z2z2解：?edz?(2xydx?xdy)?sin(x?z)dx?sin(x?z)dz?0
?dz?(2xy?sin(x?z)dx?xdye?sin(x?z)z2z214. 求函数 z?xy(3?x?y),(x?0,y?0)的极值。
'2??x?1?zx?3y?2xy?y?0''''''?z??2y,z?3?2x?2y,z??2x 解：驻点满足?' 而?xxxyyy2y?1z?3x?x?2xy?0???y ?B2?AC?3?15. 计算
为极大值 ?0有,A?0,?f(1,1 )?12??xyD2dxdy, 其中D是由曲线 xy?1,y?x,y?3 围成的平面区域。
y3解：??xydxdy?D2?1ydy2?1yxdx?123?(y?1)dy?9
122316. 计算??eDx?y22dxdy, 其中D是由 2?x?y?5 确定。
2?5解：??eDx?y22dxdy??0d??2e?d??(e?e)?
?25217. 求微分方程
dydx?yy?x2 的通解。
解：
dydx?yy?x2?dydxdxdy?yx?xy?y?x?(C??ye?ydy1?dy)e?ydy1?Cy?y23
18. 求微分方程 ?cosx的通解。
解：
dydx?yx?cosx?y?(C??cosx?e?xdx1dx)e??xdx1?1x(C?xsinx?cosx)
19. 求微分方程 (y?sinx)dx?tanxdy?0 满足初始条件 y(解：(y?sinx)dx?tanxdy?0?y'??sinxdxcosx??6)?1 的解。
ytanx?cosx
?y?(C??cosx?edx)e?sinxdxcosx?C?sinx
y(?6)?1?1?2C?14,?C?38
?y?3sinx8sinx?2为所求特解
导数公式：(u)'uυ'?uυ'υ?υ2υ(?0)
(lnx)?'1x(ax)?'axlan(tanx?)'12co2sx?sxec (coxt?)'?1sin2x??2cxs c(sexc?)'sx?ecxtan(csxc?)'?cx?scxcot(arcsinx)'?1(?1 (arctanx)'?11?x2(arccotx)'??11?x2一阶线性方程 y'?p(x)y?q(x)的通解： y?e??p(x)dx(?q(x)e?p(x)dxdx?C) sinx2