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§1．3．2函数的奇偶性
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学用具
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学用具：三角板 投影仪 四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
f(x)?x2 f(x)?|x? x(x)?| 1 y y y
0 x －1 0 1 x 0 x － 1
通过讨论归纳：函数f(x)?x是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)?|x|?1是定义域为全体实数的折线；函数f(x)?1x21x2
2是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间
的共性为图象关于y轴对称．观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点(x,f(x))在函数图象上，则相应的点(?x,f(x))也在函数图象上，即函
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数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知
函数的奇偶性定义： 1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则?x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）f(x)?x23x?[?1,2]
2（2）f(x)?x?xx?12
解：函数f(x)?x,x?[?1,2]不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
x?xx?132函数f(x)?原点对称．
也不是偶函数，因为它的定义域为?x|x?R且x?1?，并不关于
例2．判断下列函数的奇偶性
45（1）f(x)?x （2）f(x)?x （3）f(x)?x?1x （4）f(x)?1x2
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(?x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：
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若f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是偶函数； 若f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是奇函数． 例3．判断下列函数的奇偶性： ①f(x)?lg(4?x)?g(4?x) ?12x?1(x?0)??2②g(x)??
??1x2?1(x?0)??2分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(?x)是否等于f(x)或?f(x)． 解：（1）f(x)的定义域是?x|4+x＞0且4?x＞0?=?x|?4＜x＜4?，它具有对称性．因为f(?x)?lg(4?x)?lg(4?x)?f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数．
（2）当x＞0时，－x＜0，于是
g(?x)??12(?x)?1??(212x?1)??g(x)
2当x＜0时，－x＞0，于是
g(?x)?12(?x)?1?212x?1??(?212x?1)??g(x)
2综上可知，在R－∪R+上，g(x)是奇函数． 例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P41思考题：
规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知f(x)是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明：f(x)在（－∞，0）上也是增函数． 证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P42 练习1．2 P46 B组题的1．2．3
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（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． ①f(x)?0,x?[?6,?2]?[2,6]; ②f(x)?|x?2|?|x?2| ③f(x)?|x?2|?|x?2| ④f(x)?lg(x2?1?x) （五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P46习题A组1．3．9．10题
2．设f(x)在R上是奇函数,当x＞0时，f(x)?x(1?x) 试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？
解：当x＜0时，－x＞0，所以f(?x)??x(1?x)，又因为f(x)是奇函数，所以
f(x)??f(?x)??[?x(1?x)]?x(1?x)．
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