第2章 平面解析几何初步 综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2
1．直线3ax－y－1＝0与直线(a－)x＋y＋1＝0垂直，则a的
3
值是( )
11
A．－1或 B．1或
3311C．－或－1 D．－或1
33
21
解析：选D.由3a(a－)＋(－1)×1＝0，得a＝－或a＝1.
33
2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是图中的( )
解析：选C.直线l1：ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，
设k1＝a，m1＝b.直线l2：bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，
设k2＝b，m2＝a.
由A知：因为l1∥l2，k1＝k2>0，m1>m2>0，即a＝b>0，b>a>0，矛盾．
由B知：k1<0
3．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
1
A．62－2 B．8 C．46 D．10 解析：选B.点A关于x轴对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为?5＋1?2＋?7＋1?2＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.
4．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
解析：选D.圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．
5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于( )
A.2 B.2－1 C．2－2 D.2＋1
|a－2＋3|
解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝
2
?|a＋1|?2?23?2|a＋1|???
＝，依题意?＋＝4，解得a＝2－1. ????2??2?2?
6．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线是( ) A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
解析：选D.∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0， ∴设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0， |2－3＋c||2－3－6|由22＝22， 2＋32＋3
∴c＝8，或c＝－6(舍去)，
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
7．若直线y－2＝k(x－1)与圆x2＋y2＝1相切，则切线方程为( )
3
A．y－2＝(1－x)
43
B．y－2＝(x－1)
4
3
C．x＝1或y－2＝(1－x)
4
2
3
D．x＝1或y－2＝(x－1)
4
解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．
8．圆x2＋y2－2x＝3与直线y＝ax＋1的公共点有( ) A．0个 B．1个
C．2个 D．随a值变化而变化
解析：选C.直线y＝ax＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部． 9．过P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是( )
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5. ∴|PC|＝?5－1?2＋?4－1?2＝5， ∴|PA|＝|PB|＝52－?5?2＝25，
1
∴S＝×25×5×2＝10.
2
10．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2
－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：选C.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn＜1.
11．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝1－x2有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－1,1) C．[1，2) D．(－2，2)
解析：选C. 曲线y＝1－x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．
3
当直线l过点(－1,0)时，m＝1；
当直线l为圆的上切线时，m＝2(注：m＝－2，直线l为下切线)．
12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A．4 B．2 812C. D. 55解析：选A.∵点P在圆上，
114
∴切线l的斜率k＝－＝－＝. kOP1－43
2＋24
∴直线l的方程为y－4＝(x＋2)，
3
即4x－3y＋20＝0. 又直线m与l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0.
|0－20|
故两平行直线的距离为d＝22＝4. 4＋?－3?
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．
解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4
14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.
解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|＝3，由切割线定理，|PA|·|PB|＝|PC|2＝3.
答案：3
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．
解析：已知直线斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－.2∵两直线垂直，∴(－2)·(－)＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距
2
4
aa
|c|
离为5，即＝5，∴c＝±5，故ac＝±5.
5
答案：±5
16．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________．
解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，
得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝|3×1＋4×?－2?＋m||m－5|
＝＞1， 22
53＋4
∴m＜0或m＞10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．
解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，
3
所以kAC＝－. 2
3
所以AC的方程为y－2＝－(x－1)，
2
即3x＋2y－7＝0，
同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0. 下面求直线BC的方程，
??3x＋2y－7＝0，由???x＋y＝0，??x－y＋1＝0，由???2x－3y＋1＝0，
得顶点C(7，－7)， 得顶点B(－2，－1)．
22
所以kBC＝－，直线BC：y＋1＝－(x＋2)，
33
即2x＋3y＋7＝0.
18．一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．
(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程； (2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围． 解：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.
5