(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A，C′的直线的方程x＋y＝0即为光线l所在直线的方程．
(2)A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)， 设过点A′的直线为y＋3＝k(x＋3)．
|2k－2＋3k－3|4
当该直线与圆C相切时，有＝1，解得k＝或k2
31＋k3＝， 4
43
所以过点A′的圆C的两条切线分别为y＋3＝(x＋3)，y＋3＝
34
(x＋3)．
3
令y＝0，得x1＝－，x2＝1，
4
3
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－，1]．
4
19．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程． 解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为 (x－1)2＋(y－2)2＝5－m， ∵此方程表示圆， ∴5－m＞0，即m＜5.
22?x＋y－2x－4y＋m＝0，?(2)?
??x＋2y－4＝0，
消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0， 化简得5y2－16y＋m＋8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
??
?m＋8??yy＝5. ②
1
2
16
y1＋y2＝， ①
5
由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0
即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
6
将①②两式代入上式得
16m＋8
16－8×＋5×＝0，
558
解之得m＝.
58
(3)由m＝，代入5y2－16y＋m＋8＝0，
5
124
化简整理得25y－80y＋48＝0，解得y1＝，y2＝. 55
412
∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝. 55
?412??124?∴M?－，?，N?，?， ?55??55?
?48?
∴MN的中点C的坐标为?，?.
?55?
?124?2?412?285?＋?＋?－?＝又|MN|＝ ， 55555????
45
∴所求圆的半径为.
5?4?2?8?216
∴所求圆的方程为?x－?＋?y－?＝.
5??5?5?
20. 已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．
2
(1)求a、b间关系； (2)求|PQ|的最小值；
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．
解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
7
又|PQ|＝|PA|，
所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2 ＝1＋|PA|2，
所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2， 故2a＋b－3＝0.
(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上， 所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，
|2×2＋1－3|25
所以|PQ|min＝＝. 22
52＋1
(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－
252
12a＋8＝5(a－1.2)＋0.8，得|PQ|min＝.)
5
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，
3
圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝2
2＋12
35－1＝－1，
5
又l′：x－2y＝0，
63
联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．
55623235
所以所求圆的方程为(x－)＋(y－)＝(－1)2.
555
21．有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得
8
???5－a?＋?2－b?＝r，?b－64??a－3×3＝－1，
2
2
2
2
?3－a?＋?6－b?＝r，
222
?9
?b＝，解得?2
?r＝25.?4
2
a＝5，
所
9225
以所求圆的方程为(x－5)＋(y－)＝. 24
法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得
?5＋2＋5D＋2E＋F＝0，?E?－2－64
?－D－3×3＝－1，?2
2
2
32＋62＋3D＋6E＋F＝0，
D＝－10，??
解得?E＝－9，
??F＝39.
所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则
3
CA的方程为y－6＝－(x－3)，
4
即3x＋4y－33＝0.
6－2
又因为kAB＝＝－2，
3－51
所以kBP＝，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.
2
??3x＋4y－33＝0，
解方程组?
??x－2y－1＝0，
??x＝7，
得???y＝3.
所以P(7,3)．
95
所以圆心为AP的中点(5，)，半径为|AC|＝. 22
92252
所以所求圆的方程为(x－5)＋(y－)＝.
24
22．如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
9
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d＝22－?3?2＝1.
|1－k?－3－4?|
由点到直线的距离公式得d＝， 2
1＋k7
从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
24
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x1
－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和C2
k的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
1
|5＋?4－a?－b|
k|1－k?－3－a?－b|
＝， 2
1＋k1
1＋2
k整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以
10
??a＋b－2＝0，???b－a＋3＝0，
??a－b＋8＝0，
或???a＋b－5＝0，
??
解得?5a＝，2
??或?3a＝－，2
??b＝－1
2，??b＝132.
这样点P只可能是点P?51?
?31??2，－2??或点P2??－2，经检验点P1和P2满足题目条件．
13?2??
.
11