均质边坡稳定性极限曲线法
方宏伟1，李长洪2，李波1
(1辽宁交通高等专科学校 道桥系，沈阳 110122；2北京科技大学 土木与环境工程学院，北京 100083)
摘 要：基于滑移线场理论，按边坡坡面变形量评价其稳定性，提出了均质边坡极限曲线法，该法是求有重边坡极限荷载的逆过程，是强度折减法的对偶过程。以特征线法差分方程组(SCM)和试验方程近似公式 (CCM)求得的极限坡面曲线与坡面线相交为变形破坏准则，定义了安全度(DOS)和破坏度(DOF)两个评价指标。该法不必假设和搜索临界滑动面。经典考题和典型算例的验算表明，随着节点的增加SCM计算精度增加，边界步长不变时，三次样条插值求得的变形破坏准则判断值不变，说明SCM算法稳定；典型算例的计算数据和图例表明，边坡角变大时，边坡稳定性降低，极限坡面曲线与坡面由无交点变为有交点，证明了变形破坏准则的正确性；由两个例题计算结果对比可知，安全系数较大时，SCM/CCM计算结果与其具有可比性，相对于原边界条件增加了外荷载，故安全系数变小时，SCM/CCM偏于保守。34个样本计算正确率：安全系数法67.7%，应力状态法73.5%，CCM为79.4%，SCM为70.6%，表明SCM/CCM正确率较高，计算结果可靠。SCM/CCM因素敏感性分析结论与安全系数法完全一致。在露天矿边坡稳定性和最终边坡角的分析与计算中，SCM/CCM结论与原报告相同，当参数变小时，CCM法更有利于实践，表明该法具有一定的工程应用价值。 关键词：极限曲线法；变形破坏准则；安全度；破坏度
Limit curve method of homogeneous slope stability
FANG Hong-wei1，LI Chang-hong2，LI Bo1
(1 Department of Road and Bridge, Liaoning College of Communication, Shenyang 110122, China；
2 School of Civil and Environmental Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)
Abstract: Based on the theory of slip line field, this paper proposes the limit curve method of slope stability according to the deformation situation; the method is the inverse process for computing a heavy slope ultimate load and the dual process of strength reduction method. The paper defines two evaluation indexes: the Degree of Safety (DOS) and the Degree of Failure (DOF) according to the deformation failure criterion of the limit stable slope curve and the slope surface intersection computed by characteristic line difference method (SCM) and the slope limit experimental approximate formula (CCM). The method does not require assuming and searching critical slip surface. Classic exams and typical examples show that with the increase of nodes, the accuracy of SCM increases; when boundary step is constant, the judgment value obtained by three spline interpolation is unchanged, which proves the stability of SCM. Typical examples show that the larger the slope angle becomes, the lower the slope stability is, limit slope curve and slope is from without intersection to intersection, which proves that the correctness of the deformation failure criterion. Comparing the results from the two examples shows that the safety factor is large and SCM/CCM results are comparable; this paper increases external load relative to the original boundary conditions, so the safety factor becomes smaller, SCM/CCM is conservative. To calculate the correct rate, this paper uses 34 samples: safety factor method is 67.7%, the stress state method is 73.5%, CCM is 79.4% and SCM is 70.6%, which indicates that SCM/CCM correct rate is higher. The conclusions of SCM/CCM factor sensitivity analysis and safety coefficient method are completely consistent. By analyzing and computing the slope stability and the ultimate slope angle of open pit mining, the report about SCM/CCM is the same as the original; when the parameter variable is smaller, CCM is more conducive to practice, which indicates that the method has a certain value in engineering applications. Key words: Limit Curve Method; deformation failure criterion; Degree of Safety; Degree of Failure
1 引 言
边坡稳定性分析主要是条分法和有限元法，包括计算安全系数和搜索临界滑裂面两个方面[1]。条分法局
作者简介：方宏伟(1980-)，男，博士，讲师，从事岩土工程的教学与研究工作。E-mail: fanghongwei911@126.com。
限性主要是需假定滑裂面的位置[2]，有限元法分为滑裂面应力分析法和强度折减法两类，前者为有限元与极 限平衡理论的结合，仍需假定和搜索临界滑裂面，后者克服了以上不足，但是对边坡临界破坏的失效判据学术界尚无统一的意见[3]，而且不同程序计算的结果并不一致，因此有限元法还不能够替代极限平衡法[4]。为解决上述问题，学者们一方面努力寻找准确可靠的搜索方法[5]，另一方面不断提出新观点，如朱大勇[6]认为直接求解最小安全系数是解决问题的突破口，并提出了边坡临界滑动场法。以上都是从力的角度进行研究的，陈震[7]认为可以按边坡变形发展过程定量估定稳定性，提出可用破坏坡度与实际坡度之比作为安全系数，并指出联系变形发展情况还可能有其它表达形式。
滑移线法在边坡中的应用主要是计算无重边坡极限荷载[8]，近年来已有学者认为滑移线具有更重要的意义，并且提出与有限元法结合确定滑裂面[9]，张天宝[10]认为该理论对土石坝合理边坡形状设计具有启发意义，并与高广岩[11]通过有限元论证堆石坝合理边坡形状是凹形曲面的结论相一致。基于以上研究，以边坡变形量评价其稳定性为出发点，本文提出应用滑移线场理论计算得到的极限坡面曲线分析边坡稳定性的新方法，称极限曲线法。计算极限坡面曲线有两种方法：B.B. Sokolovskii研究得出的特征线法差分方程组 [7] 和A.M.Cehkob根据试验得到的极限稳定边坡曲线方程近似公式 [10] ，为节省篇幅，本文不列出相关公式，读者可查阅索引文献，对应的极限曲线法也分为两种：前者称S曲线法(S curve method，SCM) ，后者称C曲线法(C curve method，CCM) ，采用Mat lab编程计算，作者可提供源程序。通过经典考题与典型算例及34个边坡样本[2] 的验算考察方法合理性和结果可靠性，进行因素敏感性分析，并应用于露天矿边坡稳定性和最终边坡角的分析与确定。
2 极限曲线法简介
2.1基本概念与公式
滑移线法已计算得到了无容重边坡极限荷载，对于有容重边坡则要求坡面为凹形曲面才能求得解析解[8]，本文采用该计算逆过程，则对有容重边坡，在极限荷载作用下，坡面形状应为凹形曲面，二维坐标下为凹形曲线，需要说明的是，即使边坡所受荷载不是极限荷载，也可以求得极限坡面曲线，这个曲线是将现有荷载定义为极限荷载后边坡极限平衡状态下的坡面形状。将地基线以上边坡体放入第一象限，以坡脚为坐标原点，设坡高为H, F1(x)为极限坡面曲线拟合二次函数，当F1(x)与正x轴的交点x11＞0时，将坡面线与极限坡面曲线之间的面积S1和坡面线与正x轴所成面积S2之比定义为安全度DOS(Degree of Safety)，见图1，设坡脚到坡顶横坐标x22，S2 = x22 ·H/2，极限坡面曲线与正x轴所成面积S3=
DOS= S1/S2，DOS越大稳定性越好，值域为(0,1)；以极限坡面曲线与坡面线相交为变形破坏准则，其交点横坐标x1与x22之比的负值定义为破坏度DOF(Degree of Failure)，见图2，此时x11＜0，DOF=-x1/x22，DOF越小稳定性越差，值域为(-1,0)。 由以上分析可知，x11为变形破坏准则判断值。
强度折减法构筑一个与真实边坡相同轮廓的“虚拟”边坡，强度指标缩减，缩减的系数即安全系数。极限曲线法正好是这个方法的对偶过程，即强度指标不变，但坡面缩减变形,按其变形量评价稳定性，因此不必假设和搜索临界滑动面。
yx22?x22x11F1 (x)dx，则S1= S2-S3，
yx22x11xx1
x11x
图1 DOS计算示意图 图2 DOF计算示意图
Fig. 1 Calculation schematic diagram of DOS Fig. 2 Calculation schematic diagram of DOF
2.2算法函数与流程
极限曲线法函数：
F1(x) = f1 (γ, c, φ, α, H, N1, N2, Δx) (1)
DOS/DOF= f2 (F1 (x), F0 (x)) (2)
式中，γ容重(kN/m3)，c 粘聚力(kPa)，φ内摩擦角(°)，α坡度(°)，N1为主动区边界步长数，N2为过渡区边界步长数，Δx为SCM主动区边界步长(m)，当CCM时为Δy=H/N1，N1为H剖分数，无N2，f1为SCM/CCM，F0(x) 为边坡坡面函数(本文为过零点的一次函数)，f2为上节求DOS/DOF的方法。
采用准确率最高的三次样条差值[12]计算x11，该法可以回避插值问题的Runge现象，又是连续光滑的。为保证F1(x)与x轴有交点，要求F1(x)纵坐标最小值ymin<-1。对SCM，从理论上讲，应为x11＞0时x1＜0，而x11<0时x1>0，但是由于F1 (x)随着取点变化而发生多项式摆动[13]，会产生x11<0时x1<0的情况，此时DOS/ΔDOF=0，当坡面无荷载时，满足计算条件的坡顶最小荷载[7]为Pmin= c·cotφ·(1+sinφ)/(1-sinφ)，此时无过渡区，则N2=0，而CCM不存在上述两个问题，计算流程见图3。
边界条件 SCM/CCM 极限坡面曲线拟合二次函数F1(x) 坡面一次函数F0 (x) 三次样条插值 x11<0 是 DOF (CCM) x1＞0 是 否 DOS 否 DOS=DOF=0(SCM) DOF (SCM) 图3 算法流程图 Fig.3 Algorithm flow chart
3 考题和算例验算与样本分析
王国体建立了边坡稳定性应力状态法[2]，引用了其它文献的大量例题，为便于比较，本文例题皆取之于该文献，不同之处是用文献[1]的经典考题b代替c。 3.1经典考题与典型算例的验算
考题a的参数为γ =20kN/m3，c=3kPa，φ=19.6°，α=27°，H=10m；考题b的参数为γ =20kN/m3，c=32kPa，
φ=10°，α=27°，H=10m；检验有限元强度折减法的典型算例参数为γ =20kN/m3，c=42kPa，φ=17°，α为变化范围为[30°，50°]，均分五个区间计算，H=20m。 由于SCM采用特征线差分法，而拟线性双曲型微分方程组没有唯一解[14]，相应的数值方法也具有类似的特点，即SCM计算的DOS/DOF会随着边界条件不同而发生变化。为考察该法稳定性，采用不同的Δx和N1及节点数k计算分析，结果见表1和2，随着Δx的减小和N1与k的增加，计算精度随之增加，计算结果表明SCM算法稳定。计算范围影响分析见表3和4，当Δx不变，N1增加时k变多，对函数拟合有影响，DOS/DOF会发生变化，但x11不变，说明解的变化完全是由于拟合振荡产生的，对边坡稳定性的判断不会产生影响。由于计算机性能的限制，N1不可能取得很大，本文计算N1≤999。CCM算法没有稳定性问题。
不同坡度SCM(Δx=0.02)计算图例4、5、6、7、8，CCM(Δy=0.001)计算图例9、10、11、12、13，随着边坡角增大，安全系数逐渐变小，边坡稳定性变差，DOS/DOF也在变小，x11由大于0变为小于0，即极限坡面曲线与x轴的交点逐渐向左偏移，当x11＜0时极限坡面曲线与坡面相交，且安全系数越小，x11越小，极限坡面曲线与坡面相交点x1越大，由此证明了变形破坏准则的正确性。
DOS/DOF与安全系数对比见表5，安全系数较大时，SCM/CCM与其具有可比性，当安全系数变小时，SCM/CCM偏于保守，且CCM保守程度大于SCM，原因应该是相对于坡顶无荷载的初始条件，SCM计算时在坡顶附加了最小荷载值，而CCM将坡顶以下部分边坡体自重作为外荷载。
表1 经典考题SCM稳定性分析
Table 1 Stability analysis of SCM 参数 考题a 考题b
Δx 1 0.5 0.1 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 1 0.5 0.1 0.05 0.04 0.03 0.02
N1 8 15 45 80 100 150 200 350 400 420 480 550 650 15 25 110 220 280 380 550
k 81 256 2116 6561 10201 22801 40401 123201 160801 177241 231361 303601 423801 256 676 12321 48841 78961 145161 303601
ymin -2.3302 -3.7815 -1.02 -1.2459 -1.9961 -6.178 -4.4763 -2.8345 -3.8485 -2.2159 -2.4428 -2.2127 -2.0626 -4.795 -2.5674 -1.2819 -1.3016 -1.4954 -1.6906 -1.3147
x11 14.563 11.2987 5.0967 3.2649 2.7801 2.2265 1.5745 0.7661 0.6724 0.5757 0.4757 0.372 0.2643 14.0806 11.2996 8.5121 8.123 8.0437 7.964 7.8838
DOS 0.8343 0.6884 0.3856 0.2909 0.2661 0.2288 0.2013 0.1658 0.1596 0.1575 0.1527 0.1481 0.1432 0.8114 0.7498 0.6477 0.6293 0.6246 0.6197 0.6178
ΔDOS 0.1459 0.3028 0.0947 0.0248 0.0373 0.0275 0.0355 0.0062 0.0021 0.0048 0.0046 0.0049 0.0616 0.1021 0.0184 0.0047 0.0049 0.0019
表 2 典型算例SCM稳定性分析(不同坡度) Table 2 Stability analysis of SCM (Different slope) Δx N1 k
1 20 441
0.5 35 1296
0.1 150 22801
0.05 300 90601
0.04 400 160801
0.03 500 251001
0.02 750 564001
ymin 30° 35° 40° 45° 50°
-8.7823 -5.9757 -3.0265 0.7686 0.7193 0.6637 0.5992 0.5223
0.7022 0.6388 0.5672 0.4842 0.3853
0.6155 0.5337 0.4412 0.3341 -0.0836
-3.262 0.6003 0.5152 0.4191 0.3077 -0.119
-5.2398 -3.3622 -3.4136 0.5932 0.5066 0.4087 0.2953 -0.1381
0.5939 0.5075 0.4098 0 -0.135
0.5907 0.5036 0.4051 0 -0.1434
表3 经典考题SCM计算范围的影响分析
Table 3 Calculation influence range of SCM 考题a N1 k ymin DOS ΔDOS 考题b N1 k ymin DOS ΔDOS
Δx=0.005 700 491401 -4.1686 0.14 0.0064 Δx=0.02 600 361201 -2.2744 0.6115 0.0095
x11=0.2643 750 564001 -6.5277 0.1336 0.0076 x11=7.8838 650 423801 -3.2615 0.6020 0.0105
800 641601 -9.156 0.126 0.0076 700 491401 -4.2800 0.5915 0.0102
850 724201 -12.0690 0.1184 0.0070 750 564001 -5.3334 0.5813 0.0094
900 811801 -15.2814 0.1114 0.0062 800 641601 -6.4243 0.5719 0.008
950 904401 -18.8072 0.1052 850 724201 -7.5552 0.5639
表4 典型算例SCM计算范围的影响(Δx=0.02) Table 4 Calculation influence range of SCM (Δx=0.02) N1 30° 35° 40° 45° 50° k ymin
800 0.5866 0.4987 0.3992 0 -0.1581 641601 -5.3575
850 0.5805 0.4913 0.3904 0 -0.1838 724201 -7.3856
900 0.5735 0.4828 0.3802 0 -0.2158 811801 -9.5031
2525950 0.5663 0.474 0.3697 0 -0.2498 904401 -11.7148
x11 14.4298 8.3518 3.6239 -0.2112 -3.4292
2020151050-51510y/my/m50-5-100510152025x/m30354045
05101520x/m25303540
图4 30o的SCM计算图(典型算例) 图5 35o的SCM计算图(典型算例) Fig.4 SCM diagram of 30o (Typical example) Fig. 5 SCM diagram of 35o (Typical example)