教育资源 平面向量的数量积与平面向量应用举例
一、选择题
1．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 C．3 答案：A
解析：由条件可得，(a＋b) ＝10，(a－b) ＝6， 两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.
π
2．(2014·山东)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实6数m＝( )
A．23 C．0 答案：B
1×3＋3m32
解析：根据平面向量的夹角公式，可得＝，即3＋3m＝3×9＋m，两2
22×9＋m边平方并化简，得63m＝18，解得m＝3，经检验符合题意．
→→→→→→→
3．(2015·阜新模拟)已知向量OA＝(4,6)，OB＝(3,5)，且OC⊥OA，AC∥OB，则向量OC＝( )
B．3 D．－3
2
2
B．2 D．5
?32?A.?－，? ?77?
2??3
C.?，－?
7??7答案：D
?24?B．?－，?
?721?
4??2
D．?，－?
21??7
→→→→
解析：设OC＝(m，n)，则AC＝OC－OA＝(m－4，n－6)， →→
∵OC⊥OA，∴4m＋6n＝0.①
→→
又∵AC∥OB，∴3(n－6)－5(m－4)＝0.② 24
由①②联立解得m＝，n＝－.
7214?→?2
∴向量OC＝?，－?.
21??7故应选D.
4．(2015·东北三校一模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则实数λ等于( )
1
教育资源 A．－1 C．－2 答案：B
B．1 D．2
解析：依题意，得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)， (λa－b)·a＝(λ－4，－3λ＋2)·(1，－3) ＝λ－4－3(－3λ＋2)＝10λ－10＝0，∴λ＝1， 故应选B.
5．设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于( )
A.π 6
πB．
3π2πD．或 33
2π
C． 3答案：B
解析：由题意，知|a|＝4，|b|＝2，设a与b的夹角为θ，
a·b41
则cos θ＝＝＝，
|a||b|4×22
π∴θ＝. 3故应选B.
6．(2015·江西师大附中联考)在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P→→→→
是斜边AB上的一个三等分点，则CP·CB＋CP·CA＝( )
A．0 9C．－ 4答案：D
解析：建立如图所示的直角坐标系，
9B． 4D．4
?24?则A(2,0)，B(0,2)，P1?，?， ?33?
2
教育资源 ??P2?，?， 33?
?
→?24?→?42?∴CP1＝?，?，CP2＝?，?，
?33??33?→
42
CB＝(0,2)，CA＝(2,0)，
→→
∴CB＋CA＝(2,2)．
→→→→→→→故CP1·CB＋CP1·CA＝CP1·(CB＋CA) 24?48?＝?，?·(2,2)＝＋＝4，
33?33?
→
CP2·CB＋CP2·CA＝CP2(CB＋CA)
84?42?＝?，?·(2,2)＝＋＝4. 33?33?二、填空题
7．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
答案：5
解析：∵λa＋b＝0，∴λa＝－b， ∴|λa|＝|－b|＝|b|＝2＋1＝5， ∴|λ|·|a|＝5.又|a|＝1，∴|λ|＝5.
→→→→
8．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP→→
＝2，则AB·AD的值是________．
2
2
→→→→→→→
答案：22
→→→→1→→→→→3→→→
解析：因为AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，所以AP·BP＝
441→??→3→?→23→21→→→→?→AD＋AB?·?AD－AB?＝|AD|－|AB|－AD·AB＝2，将AB＝8，AD＝5代入，解得AD·AB?4??4?162?＝22.
?1??π?9．已知向量a＝?－cos x，－x?，b＝(1，t)，若函数f(x)＝a·b在区间?0，?上存
2??2??
在增区间，则t的取值范围为________．
3
教育资源 1??答案：?－∞，? 2??
?1?解析：f(x)＝a·b＝?－cos x，－x?·(1，t)
?2?
1
＝－cos x－tx，
2
f′(x)＝sin x－t， f(x)在?0，?上存在增区间，
2
12
??
π??
?π?即x∈?0，?时，f′(x)≥0成立有解，
2??
1
∴t≤sin x有解即可，
211∵sin x<， 221∴t<. 2
1??故t的取值范围是?－∞，?. 2??
→→→→→→
10．(2013·山东)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋→
AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
7答案： 12
→→→→
解析：∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0，
→→→→→→→→→→2→2→→∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB＋AC－AC·AB＝0. →→→→
∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 7→→
∴(λ－1)|AB||AC|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝. 12三、解答题
11．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)， (1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；
(2)若2a＋b与a－b的夹角是锐角，求x的取值范围． 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1) ∴2a＋b＝(2＋x,5)，
→→
a－b＝(1－x,1)．
4
教育资源 由(2a＋b)∥(a－b)可知， 2＋x＝5－5x. 1
解得x＝.
2(2)由题意可知
(2a＋b)·(a－b)＞0且2a＋b与a－b不共线， ＋x??∴?1
x≠，??2∴
－x＋5＞0，
－1－29－1＋291
＜x＜且x≠. 222
即所求x的取值范围是
?－1－291??1－1＋29??，?∪?，?.
22??22??
12．(2015·德州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，
C(1，3)，点M满足OM＝OA，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM的余弦值；
→→→
(2)是否存在实数λ，使(OA－λOP)⊥CM，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
→→→1→→
解：(1)由题意，可得OA＝(6,0)，OC＝(1，3)，OM＝OA＝(3,0)，CM＝(2，－3)，
2→
→1→
2
CO＝(－1，－3)．
→→CO·CM7→→
∴cos∠OCM＝cos〈CO，CM〉＝＝. →→14|CO||CM|
→
(2)设P(t，3)，其中1≤t≤5，λOP＝(λt，3λ)， →
OA－λOP＝(6－λt，－3λ)，CM＝(2，－3)．
→→→→→→
若(OA－λOP)⊥CM，则(OA－λOP)·CM＝0，
3312
即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，若t≠，则λ＝
222t－3
→→
5