专题：数列中存在性问题的研究（1）
一、问题提出
问题：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．
二、思考探究 探究一：
探究1.1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5?a13?34，S3?9． （1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式； （2）设数列{bn}的通项公式为bn?an，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm an?t(m?3，m?N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
【解】（1）an?2n?1,Sn?n2 （2）bn?即：22n?1，要使得b1,b2,bm成等差数列，则2b2?b1?bm
2n?1?t312m?14?? 即：m?3? 3?t1?t2m?1?tt?1∵m,t?N?，∴t只能取2，3，5 当t?2时，m?7；当t?3时，m?5；当t?5时，m?4． 【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决．
探究1.2 设公差不为零的等差数列?an?的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足（1）求数列?an?的通项公式； （2）试求所有的正整数m，使得
a2a3??5，S7?7． a14am+1am?2为数列?an?中的项． am7(a1?a7)?7a4，于是a4?1．???2分 2【解】（1）因为?an?是等差数列，且S7?7，而S7? 设?an?的公差为d，则由
a2a3(1?2d)(1?d)??5， ??5得
1?3d4a14 化简得8d2?27d?9?0，即(d?3)(8d?3)?0，解得d?3或d?3，
8 但若d?3，由a4?1知不满足“数列?an?的各项均为整数”，故d?3．???5分
8 于是an?a4?(n?4)d?3n?11．????????????????????7分
（2）因为
am+1am?2(am?3)(am?6)??am?9?18，an?3n?11?3(n?4)?1， ??10分 amamamam+1am?2为数列?an?中的项，18必须是3的倍数，
amam所以要使
于是am在?1，?2，?3，?6中取值，
但由于am?1是3的倍数，所以am?1或am??2．
由am?1得m?4；由am??2得m?3． ????????????????13分 当m?4时，
am+1am?24?7aa??a13；当m?3时，m+1m?2?1?4?a3． am1am?2所以所求m的值为3和4．??????????????????????16分 am+1am?2(3m?8)(3m?5)(3m?11)2?9(3m?11)?18??另解：因为 am3m?113m?11 ?3m?2?所以要使
18?3m?2?2?3?3，
3m?113(m?4)?1am+1am?2为数列?an?中的项，2?3?3必须是3的倍数，
3(m?4)?1am于是3(m?4)?1只能取1或?2．（后略）
探究1.3 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设lgbn?n(an?a1)． 2an?1，试问是否存在正整数p，q(其中1 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an=n－1． （3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 2p1q??． 3p33qp?2时， 2(p?1)2p2?4p2p??<0，故数列{}( p?2)为递减数列， 3p?13p3p?13pq?1q1?2qqq?3时，(1?q?1)?(1?q)?q?1<0，故数列{1?q}(q?3)为递减数列， 3333333(2p4，(1?q)?4，即p?2,q?3时，2p?1?q )?max933qmax93p3p33q2p2?3212p1q，故无正整数q使得?????q成立． pp279333332p1q12p，且数列{}( p?2)为递减数列， ???3p33q33p又当p?3时， 解法2：同上有，当p?2时，因此，由 2p412p2?321成立；当时，?????， p?327933p933p2p1?得，p?2，此时q?3 3p3【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想． 探究二： 探究2.1 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32． （1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn； （2）设bn?Sn(n?N?)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n??a1?2?1，【解】（1）由已知得?，?d?2， ??3a1?3d?9?32 故an?2n?1?2，Sn?n(n?2)． （2）由（1）得bn?Sn?n?2． n2假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq?bpbr． 即(q?2)2?(p?2)(r?2)． ?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0 ?p，q，r?N?， ?q2?pr?0，?p?r? ????(p?r)2?0，?p?r． ??pr，2???2q?p?r?0，与p?r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． 2【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾． 探究2.2 已知数列{an}满足：a1?22bn?an?1?an(n?1)． ?an)13(1?an?1)2(1，anan?1?0(n?1)，数列{bn}满足：,?21?an1?an?1（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． 【解】（1）由题意可知，1?an?1?又c1?1?a1?222222(1?an) 令 cn?1?an，则 cn?1?cn 33332，则数列?cn?是首项为c1?，公比为的等比数列，即 434n?12n3?2?cn???4?3?n?11323?2?2，故1?a?()n?1?an?1???，又a1??0，anan?1?0 2434?3?故an?(?1)n?112321?()n?1，bn?()n?1． 43431，公4（2）假设数列?bn?存在三项br,bs,bt(r?s?t)按某种顺序成等差数列，由于数列?bn?是首项为比为 2的等比数列，于是有br?bs?bt，则只有可能有2bs?br?bt 成立 3s?11?2? ?2???4?3?即：21?2????4?3?r?11?2??2??2??2???? ，即2???????? 4?3??3??3??3?t?1srts?1?tt?s3?3t?r?2t?r 由于r?s?t，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾． 因此数列?bn?中任意三项不可能成等差数列． 【注】此题为上例的补充，方法上有区别，在不便利用范围寻找矛盾时，如何考虑式子的变形呢？首先考虑将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾． 探究2.3 已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0?q?（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； 【解】由an?0,0?q?1. 21知，数列{an}是递减数列， 2假设存在ak,am,an成等差数列，不妨设k?m?n，则2am?ak?an，即2a1qm?1?a1qk?1?a1qn?1 即 2qm?k?1?qn?k，而2qm?k?2q?1，1?qn?k?1，故矛盾． 因此在数列{an}中不存在三项成等差数列． 【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在． 三、真题链接 （2009年江苏高考题）设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且 a22?a32?a42?a52,S7?7． （1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得【解】（1）设公差为d，则a2所以a42amam?1为数列?an?中的项． am?2，由性质得?3d(a4222?a5?a4?a3?a3)?d(a4?a3)，因为d?0， ?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?7?6d?7，解得a1??5，d?2,所2以?an?的通项公式为an?2n?7，前n项和Sn?n2?6n． (2) (2m?7)(2m?5)amam?1(2m?7)(2m?5)?2n?7， =，若其是?an?中的项，则 2m?32m?3am?28amam?1(t?4)(t?2)?t??6?2n?7, = ttam?2令t?2m?3，则 即：2n?t?8?1 所以t为8的约数． 因为t是奇数，所以t可取的值为?1， t当t?1，即m?2时，n?5；当t??1，即m?1时，n??4（舍去）． 所以满足条件的正整数m?2． 【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析． 四、反思提升 数列中的一类存在性问题?不定方程的正整数解问题 存在?有（正整数）解 （1）整除性 （2）奇偶性 （3）范围 五、反馈检测 1. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，满 足a1 ?1，Tn?不存在?无（正整数）解 （1）范围 （2）奇偶性 （3）有理数性质 41?(p?Sn)2． 33（1）求p的值及数列{an}的通项公式； （2）① 问是否存在正整数n，m，k（n ? m ? k），使得an，am，ak成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系，若不存在，请说明理由． ② 若an，2xan?1，2yan?2成等差数列，求正整数x，y的值．