2. 已知数列?an?是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满
2足an?S2n?1，n?N*．数列?bn?满足bn?1，Tn为数列{bn}的前n项和． anan?1（1）求a1、d和Tn；
（2）若对任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，求实数?的取值范围；
（3）是否存在正整数m,n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有m,n的值；若不存在，请说明理由．
21.解：（1）（法一）在an?S2n?1中，令n?1，n?2，
22???a1?S1,?a1?a1,得? 即? 解得a1?1，d?2，?an?2n?1
22???(a1?d)?3a1?3d,?a2?S3,2又?an?2n?1时，Sn?n2满足an?S2n?1，?an?2n?1
?bn??Tn?11111??(?)， anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111111n(1???????)?． 23352n?12n?12n?1（法二）??an?是等差数列， ?a1?a2n?1?an 2?S2n?1?a1?a2n?122(2n?1)?(2n?1)an． 由an?S2n?1，得 an?(2n?1)an， 2又?an?0，?an?2n?1，则a1?1,d?2． (Tn求法同法一) （2）①当n为偶数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，即需不等式
??8(n?8)(2n?1)8?2n??17恒成立． ?2n??8，等号在n?2时取得．
nnn?此时? 需满足??25． ②当n为奇数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，即
需不等式??8(n?8)(2n?1)8?2n??15恒成立． ?2n?是随n的增大而增大， ?n?1时
nnn2n?8取得最小值?6． n1mnm21n,Tm?,Tn?， 若T1,Tm,Tn成等比数列，则()?()， 即
2m?132n?132m?12n?1? 此时? 需满足???21． 综合①、②可得?的取值范围是???21．
（3）T1?m2nm2n3?2m2?4m?12?1?0，． 由，可得?即?2m?4m???0，2224m?4m?16n?3nm4m?4m?16n?3?1?66． ?m?1?22 又m?N，且m?1，所以m?2，此时n?12．
因此，当且仅当m?2， n?12时，数列?Tn?中的T1,Tm,Tn成等比数列．
m21n11?，即2m2?4m?1?0， [另解：因为??，故24m?4m?166n?36?36n? 1?66，（以下同上）． ?m?1?22
3．设数列?an?是公差不为零的等差数列．
（1）当a3?2,a5?6时，若自然数n1,n2,?,ns,?，满足5?n1?n2???ns??，使得
a3,a5,an1,an2,?,ans?是等比数列，求ns；
（2）当a5?6时，若存在自然数n1,n2,?,ns,?，满足5?n1?n2???ns??，使得
a3,a5,an1,an2,?,ans?是等比数列，求证：整数a3必为12的正约数；
（3）若?an?中含有1和2，试探究：数列?an?中是否存在不同的三项构成等比数列． 解：（1）d?又q?a5?a3?2，当n≥5时，an?a5?(n?5)d?2n?4， 2a5?3，所以ans?a5?3s?2ns?4,?ns?3s?1?2． … 5分 a36?a336?a3?(n1?3)d?a3?(n1?3)， a322,?an1?（2）?an1?a3?a5所以
6?a33612?a3?(n1?3)，所以n1?5?， a32a3又n1?Z且n1?5，所以整数a3必为12的正约数． … 11分 （3）存在正整数k,l使得ak?1,al?2，所以d?2?1． l?k假设数列?an?中存在不同三项am,an,ap构成等比数列，为方便起见， 设M?m?kn?kp?k ,N?,P?l?kl?kl?k则am?ak?(m?k)d?1?M(2?1)
an?ak?(n?k)d?1?N(2?1)
ap?ak?(p?k)d?1?P(2?1)
由an2?amap，?(1?N(2?1))2?(1?M(2?1))(1?P(2?1))
整理得(1?N)2?2N2?2N(1?N)2??1?M?(1?P)?2MP?(M(1?P)?P(1?M))2 2??3N?2N?3MP?M?P由于M,N,P均为有理数，则??M?P． 2??2N?2N?M?P?2MP所以M?P?N,于是m?n?p，与假设矛盾，所以不存在不同的三项构成等比数列
4. 在等差数列?an?中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列?bn?的各项均为正数，b1?1，其前n项和为Tn，且b2?S2?11,2S3?9b3． （1）求数列?an?和数列?bn?的通项；
（2）问是否存在正整数m,n,r，使得Tn?am?r?bn成立？如果存在，请求出m,n,r的关系式；如果不存在，请说明理由．
解：设等差数列?an?的公差为d，则
q?3?3?d?11,? ?????????????????????2分 ?2?2(3?3?d?3?2d)?9q,解得d?3,q?2． ?????????????????????????4分 所以an?3n,bn?2n?1． ??????????????????????6分 （2）因为Tn?1?2???2n?1?2n?1， ???????????????7分 所以有2?1?3m?r?2若r≥2，则r?2n?1nn?1．???（*）
2n?1?1?2?1，（*）不成立，所以r?1，m?．???9分
3n若n为奇数，①当n?1时，m?0，不成立， ???????10分
2n?1?122t?14t?1???Z ??12分 ②当n≥1时，设n?2t?1,t?N，则m?333*2n?1?122t?1?12?4t?1?14t?1?11???2??， 若n为偶数，设n?2t,t?N，则m?33333*4t?1?1?Z，所以m?Z．??????????14分 因为32n?1?1综上所述，只有当n为大于1的奇数时，r?1,m?．
3当n为偶数时，不存在． ???????????16分
5. 已知数列?an?的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列?an?前n项和为
Sn，且满足S5?2a4?a5,a9?a3?a4.
（1）求数列?an?的通项公式；
（2）若amam?1?am?2，求正整数m的值； （3）是否存在正整数m，使得若不存在，说明理由.
S2m恰好为数列?an?中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，S2m?1