黄浦区2013年高考模拟考
数学试卷(理科) 2013年4月11日
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直
接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z满足2．函数f(x)?z9?1z?0，则z的值为 ．
开始 x?1?lg(4?2x)的定义域为 ．
3．若直线l过点A(?1,3)，且与直线x?2y?3?0垂直，则直线l 的方程为 ．
a←1 a←3a+1 否 4．等差数列{an}的前10项和为30，则a1?a4?a7?a10? ． a > 100
5．执行右边的程序框图，则输出的a值是 ．
6．设a为常数，函数f(x)?x2?4x?3．若f(x+a)在[0,??)上 是增函数，则a的取值范围是 ．
7．在极坐标系中，直线l:?cos??1被圆C:??4cos?所截得的 线段长为 ． 8．已知点P(2,?3)是双曲线
xa22是 输出a 结束 （第5题图）
?yb22?1(a?0,b?0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，
则该双曲线方程是 ．
????????????????9．在平行四边形ABCD中，若|AB|?2，|AD|?1，?BAD?60?，则AB?BD? ．
10．已知A,B,C是球面上三点，且AB =AC = 4cm，?BAC?90?，若球心O到平面ABC的
2
距离为22cm，则该球的表面积为 cm．
— 1 —
11．在△ABC中，?A?120?，AB?5，BC?7，则
sinBsinC的值为 ．
12．已知x?x2?x3???xn?a0?a1(x?3)?a2(x?3)2?a3(x?3)3???an(x?3)n(n?N*)，且An?a0?a1? a2???an，则limAn4nn??? ．
13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以 决定是否接收．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检 验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接收这箱产品．按 上述规则，该用户抽检次数的数学期望是 ． 14．已知f(x)?4?1x，若存在区间[a,b]?(,??)，使得{y|y?f(x),x?[a,b]}?[ma,mb]，
31则实数m的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知cosA．?2425?2?45，且sin??0，则tan?的值为 （ ）
247 B．?122 C．?247 D．
247
16．函数f(x)?A．y?x?1(x??2)的反函数是 （ ）
2x?2(x?3)
2x?2(1?x?3) B．y?C．y??2x?2(1?x?3) D．y??2x?2(x?3) 17．下列命题：①“0?a?112”是“存在n?N*，使得()n?a成立”的充分条件；②“a?0”
2121是“存在n?N*，使得()n?a成立”的必要条件；③“a?2”是“不等式()n?a对一切
21n?N*恒成立”的充要条件．其中所有真命题的序号是 （ ）
A．③ B．②③ C．①② D．①③
18．如果函数y?|x|?2的图像与曲线C:x2??y2?4恰好有两个不同的公共点，则实数?的 取值范围是 （ ） A．[?1,1) B．{?1,0} C．(??,?1]∪[0,1) D．[?1,0]∪(1,??) 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规
定区域内写出必要的步骤．
— 2 —
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为2，A1D?13． （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小．
ADCBA1D1C1B1E20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知复数z1?sinx??i，z2?(sinx?3cosx)?i(?,x?R，i为虚数单位）． （1）若2z1?z2i，且x?(0,π)，求x与?的值；
（2）设复数z1,z2在复平面上对应的向量分别为OZ1,OZ2，若OZ1?OZ2，且??f(x)，求
f(x)的最小正周期和单调递减区间．
????????????????????
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
?ax, (0?x?1)2??x?1后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足y??，其 x?1?a?2, (x?1)x?1??1?4y 16对应曲线（如图所示）过点(2,)．
5（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取 最大值时对应的x值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗 疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维
x 持多长的有效时间？（精确到0.01小时）
— 3 —
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分．
设抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A(x1,y1),
B(x2,y2)两点，且y1y2??4．
（1）求抛物线C的方程；
????????????（2）若OE?2(OA?OB)(O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l的倾斜角；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF,MA,MB的斜率分别为k0,k1,k2．求证：当k0为定值时，k1?k2也为定值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分．
已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an?1?当an为奇数时，an?1?an?12an2；
．
（1）若a1为偶数，且a1,a2,a3成等差数列，求a1的值；
（2）设a1?2m?3（m?3且m?N），数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn?2m?1?3； （3）若a1为正整数，求证：当n?1?log2a1(n?N)时，都有an?0．
— 4 —
黄浦区2013年高考模拟考数学试卷
（理科）参考答案和评分标准
说明：
1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．?3i； 2．[?1,2)； 3．2x?y?1?0； 4．12； 5．121； 6．[2,??)； 7．23； 8．x?2y23?1 9．?3 10．64π； 11．
35； 12．
43；
13．2.7； 14．(3,4)．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C 16．D 17．B 18． A
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中， ∵AA1?平面ABCD，AD??平面ABCD，
∴AA1?AD，故AA1?13?4?3，??????2分 ∴正四棱柱的侧面积为(4?2)?3?24，?????4分 体积为(2)?3?12． ??????6分 （2）建立如图的空间直角坐标系O?xyz，由题意 可得A(0,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,3),D(?2,0,0),E(?1,0,),
????????3AA1?(0,0,3)，BE?(?1,?2,)， ??????8分
22A(O)B2z A1D1C1B1E3DCy x — 5 —