第11讲：因式分解的方法
【知识梳理】 一、因式分解的意义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。其中每一个整式叫做积的因式。 二、因式分解的方法
1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。 2、一些复杂的因式分解的方法：
（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。
（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。
（5）常用的公式：
平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?； 完全平方公式：a2?2ab?b2??a?b?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2
立方和（差）公式：a3?b3??a?b??a2?ab?b2?； a3?b3??a?b??a2?ab?b2?； 完全立方公式：a3?3a2b?3ab2?b3??a?b?；
3 a3?3a2b?3ab2?b3??a?b?。
3【例题精讲】
◆例1：（1）4x（a－b）＋（b2－a2）；
（3）x4＋2x2－3；
（5）x3－2x2－3x；
（7）a2－c2+2ab+b2－d2－2cd
◆例2：分解因式：
（1）?x4?x2?4??x4?x2?3??10； （2）?x?1??x?2??x?3??x?6??x2； （3）1999x2??19992?1?x?1999。
（2）（a2＋b2）2－4a2b2；4）（x＋y）2－3（x＋y）＋2；
（6）4a2－b2＋6a－3b； （8）a2－4b2－4c2－8bc
（
【巩固】分解因式：
1、?x2?x?1??x2?x?2??12； 2、?x2?4x?8??3x?x2?4x?8??2x2；
2
3、?6x?1??2x?1??3x?1??x?1??x2； 4、?y?1???y?3??272
44
【拓展】分解因式：?x?y?2xy??x?y?2???xy?1?；
2
◆例3：把下列各式分解因式：
1、a2?b?c??b2?c?a??c2?a?b?； 2、x2?xy?2y2?x?7y?6。
【巩固】分解因式：
1、ab?a?b?2??a?b??1； 2、x2?xy?6y2?x?13y?6。
2
◆例4：分解因式：x3?3x2?4。
【巩固】分解因式：
1、x4?x2y2?y4； 2、a4?64b4；
【拓展】分解因式：a4?2a3b?3a2b2?2ab3?b4。
◆例5：已知多项式2x2?3xy?2y2?x?8y?6的值恒等于两个因式?x?2y?A?，
?2x?y?B?乘积的值，则A?B?______________。
◆例6：分解因式：x2?xy?6y2?x?13y?6。
【巩固】分解因式：
1、x2?xy?2y2?x?5y?2；
2、3x2?5xy?2y2?x?9y?4；
【拓展】
1、k为何值时，多项式x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？
2、多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，试确定a?b的值。
3、求证：8x2?2xy?3y2可以化为两个整系数多项式的平方差。
【课后练习】
1、分解因式：a3?2a2b?ab2?___________________________； 2、分解因式：x2?2xy?y2?9?________________________________；
3、分解因式：?x2?x?1??x2?x?2??12?___________________________________； 4、已知a、b、c满足a?b?5，c2?ab?b?9，则c?_______________；
5、分解因式：a2?b2?4a?2b?3的结果是____________________________________；