《初等数论》网络作业1
1、证明整数???能被1001整除。 50个0证明：利用公式：若n是正奇数，则a?b?(a?b)(a51317nnn?110?01?an?2b???abn?2?bn?1)
33163153∴10?01?10?1?(10)?1?(10?1)[(10)?(10)???10?1] ??? 50个0∴ 103?1?1001能够整除10?01??? 50个0
2、若n是奇数，证明8|(n2?1)。
证明：设n?2k?1,k?Z，则n2?1?(2k?1)2?1?4k(k?1)
∵ k，k＋1中必有一个是偶数 ∴ 8|(n2?1)
3、设正整数n的十进制表示为n?ak?a1a0，其中0?ai?9,0?i?k,ak?0，且
S(n)?ak?ak?1???a1?a0，证明9|n的充分必要条件是9|S(n)。
证明：∵ n?ak?a1a0?ak?10k???a1?10?a0k，
S(n)?ak?ak?1???a1?a0
∴ n?S(n)?ak?(10?1)???a1?(10?1) 对所有的0?i?k，有9|(10i?1) ∴ 9|(n?S(n))
∴ 9|n的充分必要条件是9|S(n)
4、设r是正奇数，证明对任意的正整数n，n?2不能整除(1?2???n)。 证明：当n＝1时，结论显然成立。
rrr下面设n?2，令S?1?2???n
rrr则2S?2?(2?n)?[3?(n?1)]???(n?2) 利用公式：若n是正奇数，则a?b?(a?b)(annn?1rrrrrr?an?2b???abn?2?bn?1)
∴ 对2?i?n，(n?2)|(ir?(n?2?i)r) ∴ 2S?2?(n?2)q，q是整数 ∵ n?2?2 ∴ n＋2不能整除2S ∴ n＋2不能整除S
5、设n为正整数，证明(n!?1,(n?1)!?1)?1。 证明：设d?(n!?1,(n?1)!?1)
则d(n!?1)，d((n?1)!?1) ∴ d(n!?1)(n?1)
∴d[(n!?1)(n?1)?((n?1)!?1)]，即 d|n ∴ d|n! 又∵ d|(n!?1) ∴ d|1
∴ d＝1，即(n!?1,(n?1)!?1)?1
6、设a，b，c为正整数，证明[a,b,c](ab,bc,ca)?abc。
证明：[a,b,c]?[[a,b],c]?[a,b]c，另一方面
([a,b],c)abc(ab[a,b],abc)ab([a,b],c))??[a,b][a,b][a,b](ab,bc,ca)?(ab,(bc,ca))?(ab,c(a,b))?(ab, ∴ [a,b,c](ab,bc,ca)?abc
7、设x，y都是实数，证明[2x]?[2y]?[x]?[x?y]?[y]。 证明：设x?[x]?a,0?a?1，y?[y]?b,0?b?1
则[x]?[x?y]?[y]?2[x]?2[y]?[a?b]
[2x]?[2y]?2[x]?2[y]?[2a]?[2b]
∵ 0?a?b?2
∴ [a?b]?0或[a?b]?1
如果[a?b]?0，则显然有[a?b]?[2a]?[2b] 如果[a?b]?1，则a，b中至少有一个不小于
1，所以[2a]?[2b]?1?[a?b] 2因此，都有[a?b]?[2a]?[2b]，从而[2x]?[2y]?[x]?[x?y]?[y]
《初等数论》网络作业2
1、设正整数
a的十进制表示为a?an?1an?2?a0(0?ai?9,0?i?n?1,an?1?0)，即
n?1a?an?1?10???a1?10?a0，证明3|a当且仅当3|?ai
i?0n?1证明：由100?1,101?1,?,10i?1(mod3),i?N
利用同余可加性和同余可乘性，得a?n?1i?0?a?10??a(mod3)
iiii?0i?0n?1n?1∴ 3|a当且仅当3|
?a
i2、求2?1被641除的余数。
解：依次计算同余式得，22?4,24?16,28?256,216?154,232??1(mod641)
∴ 2?1?2?1?0(mod641)，即641|(2?1) ∴ 22?1被641除的余数为0
333322223、设n是一个使1?2?3???n不能被5整除的自然数，试求1?2?3???n除以
525253225的5的余数。
33332222解：设A?1?2?3???n，B?1?2?3???n
对任意整数，有
?(5t?i)??(5t?i)??i33i?15i?14i?14225443?0(mod5)
?(5t?i)??(5t?i)??ii?1ri?1ri?12?0(mod5)
r当r?1,2,3时，
?(5t?i)??i(mod5)，但5不能整除?i33i?1i?1i?13，
∴ 当n?5t?r(t?N,t?0,r?1,2,3)时，A不能被5整除。 对于t?N或t?0，通过计算得，当n?5t?1时，B?1(mod5)
当n?5t?2时，B?0(mod5) 当n?5t?3时，B?4(mod5)
3333∴ 当n是一个使A?1?2?3???n不能被5整除的自然数时， 2222 B?1?2?3???n除以的5的余数为1或0或4。
4、求n?77的个位数字。
解：∵ 71??3,72??1,74?1(mod10)
∴ 如果7?r(mod4)，则n?77?7r(mod10)
777∵ 77?(?1)7??1?3(mod4)
∴ n?77?73?(?3)3??7?3(mod10)
7∴ n?7的个位数字是3
77
5、 设a是整数，n是正整数，若2不能整除a，则a证明：对n作数学归纳。设a?2k?1(k?Z)，
当n?1时，有a?(2k?1)?4k(k?1)?1?1(mod2)，所以结论成立. 假设n?k时，成立a2?1(mod2n?2)
n2n?1(mod2n?2)
223下面要证明n?k?1时，也成立a2?1(mod2n?2) 由于a2?1(mod2k?2)?a2?1?q2k?2(q?Z) ∴ a2k?1kkn?(1?q2k?2)2?1?Q2k?3?1(mod2k?3)，其中Q为某个整数
n∴ 由归纳法，对所有的正整数n，成立a2?1(mod2n?2)
6、设m,n是任意二个正奇数，则当a,b是任意二个连续奇数或连续偶数时，有
(a?b)|(am?bn).特别地，若a,b是二个连续的正奇数时，则(a?b)|(aa?bb)，且(a?b)|(ab?ba)
证明：不妨设a，b是任意二个连续偶数，a?b
则a?b?2,a?1?b?1,a?b?2b?2，由于
a?b?(a?1)?(b?1)?(a?1)?a?(b?1)?b(?1)?(b?1)[?a??bi(?1)i]mnmniiiii?0i?0i?0i?0m?1n?1m?1n?1且m?1,n?1都是偶数
∴
?a??b(?1)是偶数
iiii?0i?0in?1i?0iim?1n?1设
?a??b(?1)i?0m?1?2k,k?Z，则am?bn?(b?1)2k?(a?b)k
∴ (a?b)|(am?bn)
7、设f(x)是整系数多项式，且f(1),f(2),?,f(m)都不能被m整除，证明方程f(x)?0没有整数解。
证明：对任意整数x，x?r(modm),1?r?m
利用同余可加性和同余可乘性得f(x)?f(r)(modm),1?r?m ∵ f(1),f(2),?,f(m)都不能被m整除 ∴ f(x)?0，即f(x)?0没有整数解。