《初等数论》网络作业3
1、求不定方程117x1?21x2?38的整数解。 解：x2?11(?117x1?38)??6x1?2?(9x1?4) 2121111(9x1?4)?Z，则x1?(21x3?4)?2x3?(3x3?4) 令x3?219911令x4?(3x3?4)?Z，则x3?3x4?1?
39从而x3,x4不可能同时为整数 ∴ 原不定方程没有整数解
2、甲种书每本5元，乙种书每本3元，丙种书1元三本，现用100元买这三种书共100本，问甲、乙、丙三种书各买多少本？
解：设甲、乙、丙三种书分别买x,y,z本，依题意得方程组
1??5x?3y?z?100，消去z得，7x?4y?100 3???x?y?z?100显然x?0,y?25是方程7x?4y?100的特解
因此方程7x?4y?100的所有整数解是??x?4t(t?0,?1,?2,?)
?y?25?7t令x?0,y?0，所以0?t?3，即t可以取整数值t1?0,t2?1,t3?2,t4?3 相应地求得(x,y,z)的值分别是(0,25,75),(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)
3、求9x?24y?5z?1000的一切整数解。
解：因为gcd(9,24)?3,gcd(3,?5)?1，而1|1000，所以原方程有整数解
对不定方程9x?24y?3t，即3x?8y?t，把t看做常数，得其通解为
?x?3t?8u,(u?0,?1,?2,?) ?y??t?3u?对不定方程3t?5z?1000，解得通解为??t?2000?5v,(v?0,?1,?2,?)
z?1000?3v?在上述二个式子中消去t得，原方程的全部整数解为
?x?6000?15v?8u??y??2000?5v?3u,(u,v?0,?1,?2,?)?z?1000?3v?
4、求不定方程x?2y?3z?7的所有正整数解。 解：依次解不定方程x?2y?t,t?3z?7
得??x?t?2v?t?1?3u,(v?0,?1,?2,?)和?,(u?0,?1,?2,?)
y??vz?2?u???x?1?3u?2v?y??v,(u,v?0,?1,?2,?) 在上述二个式子中消去t得，??z?2?u?令x?1,y?1,z?1，则3u?2v?0,?v?1,1?u?0 ∴ 3u??2v?2,u?1 ∴
2?u?1,u?1 33?v??1,v??1， 2同理，由3?2v?0,?v?1得，?把u?1,v??1代入得，原不定方程的唯一的正整数解是x?2,y?1,z?1
5、求不定方程15x1?10x2?6x3?61的所有整数解。 解：由于x3的系数绝对值最小，
1(?3x1?2x2?1) 611令x4?(?3x1?2x2?1)?Z，则x2?3x4?x1?(x1?1)
621令x5?(x1?1)?Z，则x1?1?2x5,(x5?0,?1,?2,?)
2∴ 把原方程变形为x3??2x1?2x2?逆推上去，依次解得x2?3x4?x1?x5?1?3x4?3x5和
x3??2x1?2x2?10?x4?6?5x4?10x5
?x1?1?2u?令x4?u,x5?v，则原方程的所有整数解为?x2?1?3u?3v,(u,v?0,?1,?2,?)?x?6?5u?10v?3
6、 解同余方程8x?9(mod11)
解：因为(8,11)?1，所以原同余方程只有一个解
下面利用同余变形法
99?1155?118????(mod11) 8822199?32727?11?36055?63030?11?68x??????????(mod11) 或者88?324242422?612121∵ x?∴ x?8(mod11)是原同余方程的解
?3x?5y?1(mod7)7、解同余方程组?2x?3y?2(mod7)
?解：把第一个方程乘以2，减去第二个方程乘以3
得到19y??4(mod7)，即5y??4(mod7)，即5y?3(mod7)，即5y?10(mod7) ∴ y?2(mod7)
代入得3x?10?1(mod7)，即3x?3?1(mod7)，即3x??2(mod7) ∴ x??2?2?75?74???(mod7)，即x?4(mod7) 3331?x?4(mod7)∴ 同余方程组的解是?y?2(mod7)
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