3.3 GPS控制网优化设计的内容
GPS控制网的优化设计是实施GPS测量的基础性工作，它是在网的精确性、可靠性和经济性方面，寻求GPS控制网设计的最佳方案。根据GPS测量特点分析可知，GPS网需要以一个点的坐标为定位基准，而此点的精度高低直接影响到网中各基线向量的精度和网的最终精度。同时由于GPS网的尺度含有系统误差以及同地面网的尺度匹配
问题，所以有必要提供精度较高的外部尺度基准。
由于GPS网的精度与网的几何图形结构无关，且与观测权相关甚小，而影响精度的主要因素是网中各点发出基线的数目及基线的权阵。因此，提出了GPS网形结构强度优化设计的概念，讨论增加的基线数目、时段数、点数对GPS网的精度、可靠性、经济效益的影响。同时，经典控制网中的三类优化设计，即网的加密和改进问题，对于GPS网来说，也就意味着网中增加一些点和观测基线，故仍可将其归结为对图形结构强度的优化设计。
综上所述，GPS网的优化设计主要归结为两类内容的设计： (1)GPS网基准化的优化设计；
(2)GPS网图形结构强度的优化设计，其中包括：网的精度设计、网的抗粗差能力的可靠性设计、网发现系统差能力的强度设计。
3.3.1 GPS控制网基准的优化设计
GPS 控制网技术设计是进行GPS 定位的基础性工作，它是依据测量任务书提出的GPS 网的用途、精度、密度和经济指标，结合国家有关测量规程的规定，经过现场踏勘，在确定的地形、地物、交通等条件下，对GPS 控制网的坐标基准(投影面、投影带) 、网形、外业观测调度等方面进行具体设计，并根据所设计的控制网图形和所选择GPS 接收机的精度进行GPS 控制网精度、可靠性的估算。在各种设计方案中选择即可满足精度、可靠性要求，又能使整个建网费用最少。达到控制网优化设计的目的。
经典控制网的基准优化设计是选择一个外部配置，使得达到一定的要求，而GPS网的基准优化设计主要是对坐标未知参数X进行的设计。基准选取的不同将会对网的精度产生直接影响，其中包括GPS网基线向量解中的位置基准的选择，以及GPS网转换到地方坐标系所需的基准设计。另外，由于GPS尺度往往存在系统误差，因此应提出对GPS网尺度基准的优化设计。
12
1) 位置基准设计
研究表明，GPS基线向量解算中作为位置基准的固定点误差是引起基线误差的一个重要因素，使用测量时获得的单点定位值作为起算坐标，由于其误差可达数十米以上，所以选用不同点的单点定位坐标值作为固定点时，引起的基线向量差可达数厘米。因此，必须对网的位置基准进行优化设计。
2) 尺度基准设计
尽管GPS观测量本身已含有尺度信息，但由于GPS网的尺度含有系统误差，所以，还需要提供外部尺度基准。
GPS网的尺度系统误差有两个特点：一是随时间变化，由于美国政府的SA政策，使广播星历误差大大增加，从而对基线带来较大的尺度误差；另一个随区域变化，由区域重力场模型不准确引起的重力摄动造成。因此，如何有效地降低或消除这种尺度误差，提供可靠的尺度基准就是尺度基准优化问题。其优化有以下几种方案：
①提供外部尺度基准。对于边长小于50km的GPS网，可用较高精度的测距仪(或更高)测量2—3条基线边，作为整网的尺度基准。对于大型长基线网，可采用SLR站的相对定位观测值和VLBI基线作为GPS网的尺度基准。
②提供内部尺度基准。在无法提供外部尺度基准的情况下，仍可采用GPS观测值作为GPS网的尺度基准，只是对作为尺度基准观测量提出一些不同要求，其尺度基准设计如下。
在GPS网中选一条长基线，对该基线尽可能多地长时间、多次观测，最后取多次观测段所得的基线的平均值，以其边长作为网的尺度基准。由于它是不同时期的平均值，尺度误差可以抵消。因此，它的精度要比网中其他短基线高得多，可以作为尺度基准。
以上讨论了GPS基线向量解其中位置基准以及GPS尺度基准的选择与优化问题。此外，GPS成果转换到地面实用坐标系中，还存在一个转换基准的选择问题，此处不再讨论。
3.3.2 GPS网的精度设计
精度是用来衡量网的坐标参数估值受观测偶然误差影响程度的指标。网的精度设计是根据偶然误差的传播规律，按照一定的精度设计方法，分析网中各未知点平差后预期能达到的精度，这常被称为网的统计强度设计与分析。一般常用坐标的方差——协方差阵来分析，也可用误差椭圆(球)来描述坐标点的精度状况，或用点之间方位、
13
距离和角度的标准差来定义。
GPS控制网设计时，可以在WGS84坐标系统下进行控制点三维精度估算，然后应用精度转换公式转换到二维，也可以直接估算控制点的二维精度。下面介绍直接估算控制点二维精度的方法。
设有二维基线向量观测值?Xij???x,?y?ij ij。其相应的误差方程式系数阵为：
TB
ij?0?0?Ei?0?0?Ej?0?0 (3-4)
??
??式中：Ei、Ej是单位矩阵，对应于第i点未知数????余未知数前的系数为零。
??x?x??，其?和第j点未知数???y?y????ijij根据标称精度计算GPS的边长方差m和方位角方差m，其计算公式为
s?22ms?a??b?s? (3-5)
222d??m??c????s?222 (3-6)
式中：a、b分别是GPS接收机边长测量固定误差和比例误差因子，c、d分别是GPS接收机方向测量固定误差和比例误差因子，s是基线长度。
2?22?22s??????cos2sinmsm????D?x?2??22???s?sin??cos???ms2ms?????????????(3-7) 222?22s????sinms2cosm?????2??22??ssin??cos???ms2ms??????式中：α是基线近似坐标方位角，（3-5）式到（3-9）式省略了下标“ij”。
设单位权方差为m，则基线的权为
02
P?m0D?x (3-8)
ijij2?1有了误差方程式Bij和Pij就可以组成法方程子阵Nk，如果GPS控制网有n条独
14
立基线，则总法方程为
N??Nkk?1n （3-9）
GPS控制网的法方程系数矩阵按控制点分块，则对角线上的子块为该点周围基线权阵的和，非对角线上的子块反映了该点与其它控制点之间的关系，两控制点之间有基线相连，则相应的非对角线子块为该基线权阵乘以（-1），没有基线相连，则为零。
未知数的方差阵为
DXX?m02N?1 (3-10)
根据DXX可以计算各待定点的坐标中误差、点位中误差、点位误差椭圆和相对误差椭圆，也可以计算方位角中误差和边长中误差。
3.3.3 GPS控制网可靠性设计
1.GPS基线向量的多余观测分量
由于GPS观测值是基线向量，每条基线包含了3个坐标差向量，该3个向量之间是相关的。那么GPS控制网中的多余观测分量，应以观测基线向量为基础。假定各GPS基线之间相互独立，则有
?Q?v11?QR?QP??V21vv:??Q?vn1QQv12:v22...????P1...:??::????...Q???0vnn?...v1nQP2:0??Qv11P1?????Qv21P1??:????Pn??Qvn1QPv122...:::...?? ::?...QPn?vnn?QP??v1nn:(3-11)
其中Q(i,j=1,2,?,n)为3*3阶的子矩阵块。因此，可定义第i条基线的多余
vij观测分量为3*3阶矩阵。其形式为
??R?xi?xi? Ri???QPi???R?y?xii?vii???R??zi?xi
R?x?yR?x?z? (3-12) R?y?yR?y?z??R?x?yR?z?z??iiiiiiiiiiii? 15
若基线向量Li???x,?y,?z?有误差向量???xi,??yi,??zi?。则该误差向量
TT作用于基线的改正数大小为
V*i?V*?x?*V?y*V?z??R*???xiTi??yi??zi?T (3-13)
由（3-7）和（3-8）式可看出，Ri的3个主对角线上元素的大小分别反应了基线i的3个坐标差分量的误差或粗差作用于各自的坐标差改正的程度，其值愈大则粗差愈容易被发现。而Ri中的非对角元素的大小则反应基线之中的某一坐标分量的粗差对给基线另一坐标分量改正数的影响大小。其值的大小仍然反应了基线粗差作用于该基线观测值改正数自身的程度。依据GPS基线多余观测分量的这一特性，同时考虑到多余观测分量在内、外可靠性中将起到作用，也为了研究问题的方便，去Ri阵的3个行向量的二范数取平均后定义一条基线的多余观测分量值：
rLi?1???Z???3??K??X??2?R?XK??12?Z?????K??X2?R?YK??12?Z?????K??X2?R?ZK??12?? (3-14) ???2.GPS控制网的内可靠性指标
由前所述，给出了控制网内可靠性和外可靠性设计标准：
??l???0ili0ir ，
??0i??01?rir (3-15)
i这些标准仅使用于单个粗差且观测值之间不相关的情况，即单个一维备选假设下的可靠性。由于GPS控制网中的观测值是基线向量，即由3个相关的坐标差组成的向量（△X, △Y, △Z）。所以，GPS控制网内、外可靠性的讨论必须考虑单个多维备选假设下的情况。那么对于不含有粗差的观测值，有零假设
?l?:E?AX (3-16) ?H0?H0??而当观测值中含有粗差，则有备选假设
?l?E?AX?H?S (3-17) ：?H??H???其中H?S表示有P*1阶参数向量?S所决定的粗差，H为已知的n*p阶系数阵，其秩R（H）=p
16