授课题目 授课学时 6 4．3 有向图 Euler路 授课时间 第11、12周 教学重点、难点： 教学重点： 1． 掌握有向图、有向子图、有向路、简单有向路、有向回路等概念。 2. 掌握有向图的强连通性和有向图的根的概念，了解二者的关系。 3. 掌握有向树的概念以及有向树与树的转化定理。 4. 掌握Euler路、Euler图的概念，掌握有向图中和无向图中Euler图的充要条件，并能利用判断某图是否为Euler图。了解从Euler路得出有向支撑树以及从有向支撑树得出Euler路的方法。 教学难点： 转化定理的证明；无孤立点有限有向图中有Euler路的充分必要条件； 教学要点： 1．有向图与有向树的相关定义 有向图的定义； 有向路的定义； 有向图的强连通性和有向图的根的概念； 有向树的概念； 转化定理：对有向树G，若无视各弧之方向，则得一树G0；反之，若G0是树，可选取任一点做根，并适当指定各边之方向，则得一有向树G。 教学方法：在讲解本部分内容时要注意联系直观，尤其是对于转化定理，能给学生以直观的方式，这样能够加深对于证明方法以及定理本身的理解。 2．Euler路 Euler路和Euler图的概念； 有向图中和无向图中Euler图的充要条件以应用：设G是无孤立点的有限有向图。于是，G有Euler路当且仅当G是平衡的，并且强连通。 Euler路得出有向支撑树以及从有向支撑树得出Euler路的方法 教学方法：在讲解本部分内容时要注意避免把着眼点局限在证明上，要多举例子和讲授证明的方法，以加深学生对于复杂证明的理解。 参考文献： 《离散数学学习指导与习题解答》 孙吉贵等 高等教育出版社 《集合论与图论》 耿素云 北京大学出版社 《网络优化》 谢金星 邢文训 清华大学出版社 作业安排： 教材中习题4.3中的第1题。 答疑时间：另行安排
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授课题目 授课学时 4 4．4 Hamilton图 授课时间 第13周 教学重点、难点： 教学重点： 1．掌握Hamilton路、Hamilton回路、Hamilton图的概念以及Hamilton图的必要条件和若干充分条件。 2．了解流动推销员问题和求解Hamilton路的逼近算法。 教学难点： Hamilton图的必要条件和若干充分条件的证明。 教学要点： 1．Hamilton路的相关概念 Hamilton路的提出； Hamilton路的定义； Hamilton图的定义； Hamilton图的必要条件； 教学方法：在讲解本部分内容时要注意提出问题，引导学生去思考求解问题的方法。 2．Hamilton图的若干充分条件 教学方法：在讲解本部分内容时要注意让学生对于定理应用的掌握，同时通过讲授巧妙的证明过程，使得学生能够理解找到判定Hamilton图充分必要条件的困难，并激发学生探索的精神 3. 本章小结 参考文献： 《离散数学学习指导与习题解答》 孙吉贵等 高等教育出版社 《集合论与图论》 耿素云 北京大学出版社 《网络优化》 谢金星 邢文训 清华大学出版社 作业安排： 由于课后习题比较难，选择部分作为例题讲授 答疑时间：另行安排
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授课题目 授课学时 2.5 5．1 整除性 辗转相除 授课时间 第14周 教学重点、难点： 教学重点： 1．掌握整除、因数、倍数等概念，记住并会应用整除的性质。 2. 掌握最高公因数的概念，能够使用辗转相除法求两个数的最高公因数并表示为它们的倍数和。会利用数的数码特征判别某些整除性 教学难点： 辗转相除法的原理和应用。 教学要点： 1．整除的相关定义 整除的定义； 整除的性质 教学方法：在讲解本部分内容时要注意提出问题，引导学生去思考求解问题的方法。例如为什么要研究整除，它的意义在哪里？ 2．辗转相除 辗转相除求两个数最高公因的证明； 辗转相除的运用 教学方法：在讲解本部分内容时要注意强调对于知识的应用和掌握基本的方法。例如对于辗转相除法，要让学生理解它的原理，操作步骤。并让学生了解它在数论中的地位。 参考文献： 《离散数学学习指导与习题解答》 孙吉贵等 高等教育出版社 《离散数学——精讲·精解·精练》 黄健斌 西安电子科技大学出版社 《初等数论》 闵嗣鹤 严士健 人民教育出版社 作业安排： 教材中习题5.1中的第2题。 答疑时间：另行安排
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授课题目 授课学时 1.5 5．2 互质 质因数分解 授课时间 第14周 教学重点、难点： 教学重点： 1． 掌握互质的概念和质数的性质。 2． 掌握质数、合数的概念以及算术基本定理、欧几里得定理。 教学难点： 算数基本定理。 教学要点： 1．掌握互质的概念和质数的性质 互质的定义； 质数的性质； 教学方法：在讲解本部分内容时要注意提出问题，引导学生去思考求解问题的方法。例如为什么要研究质数，它的意义在哪里？ 合数的定义 2．算术基本定理、欧几里得定理 算术基本定理； 欧几里得定理 教学方法：在讲解本部分内容时要注意提出问题，引导学生去思考求解问题的方法。同时掌握定理证明的思想，如在欧几里得定理证明质数无穷多时对于反证法的应用。 参考文献： 《离散数学学习指导与习题解答》 孙吉贵等 高等教育出版社 《离散数学——精讲·精解·精练》 黄健斌 西安电子科技大学出版社 《初等数论》 闵嗣鹤 严士健 人民教育出版社 作业安排： 教材中习题5.2中的第7题。 答疑时间：另行安排
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授课题目 授课学时 4 5．3 合同 一次合同式 授课时间 第15周 教学重点、难点： 教学重点： 1． 掌握合同的概念以及合同的基本性质。 2. 掌握剩余系、剩余类的概念。了解一次合同方程在什么条件下有解、什么条件下无解、 什么时候有唯一解（一个剩余类）、什么时候有多解（多个剩余类），并对有解的情况掌 握求解方法。 教学难点： 一次合同方程的求解。 教学要点： 1．合同与剩余系的相关概念 合同的定义； 合同的基本性质； 剩余类与剩余系的概念； 教学方法：在讲解本部分内容时要注意提出问题，引导学生去思考求解问题的方法。例如为什么引入合同，它的作用是什么？并将其与等价关系的内容联系起来 2．一次合同方程 什么条件下无解、什么时候有唯一解（一个剩余类）、什么时候有多解（多个剩余类）； 具体求解方法； 教学方法：在讲解本部分内容时要注意强调对于方法的掌握。例如一次合同方程的求解和辗转相除的关系。 参考文献： 《离散数学学习指导与习题解答》 孙吉贵等 高等教育出版社 《离散数学——精讲·精解·精练》 黄健斌 西安电子科技大学出版社 《初等数论》 闵嗣鹤 严士健 人民教育出版社 作业安排： 教材中习题5.3中的第2题。 答疑时间：另行安排
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授课题目 授课学时 4 5．4 秦九韶定理 Euler函数 授课时间 第16周 教学重点、难点： 教学重点： 1．掌握秦九韶定理(及其推广)，合同方程组的一般解法。 7. 掌握简化剩余系、Euler函数、Euler函数的可乘性、欧拉定理、费尔马定理。 教学难点： 秦九韶定理的原理及其应用； 教学要点： 1．秦九韶定理 设m1, m2，?,mk两两互质。a1，a2，?，ak为k个整数，则下列同余式组有解，且在模m1…mk下解唯一： x?a1(mod m1)， .... ... ...， x?ak(mod mk)。 教学方法：在讲解本部分内容时要注意联系前面的知识，同时通过对定理证明过程的讲授理解构造性的证明思想 2．剩余系遍历、Euler函数 遍历定理； 欧拉函数； 欧拉定理； 费尔马定 公式G与它的Skolem范式S可满足性是等价的； 教学方法：在讲解本部分内容时注意利用数学直观和举例子的方法，加强学生对于抽象定理的理解。 3．本章内容小结 参考文献： 《离散数学学习指导与习题解答》 孙吉贵等 高等教育出版社 《离散数学——精讲·精解·精练》 黄健斌 西安电子科技大学出版社 《初等数论》 闵嗣鹤 严士健 人民教育出版社 作业安排： 教材中习题5.4中的第2题。 答疑时间：另行安排 21