浅谈柯西不等式的应用及推广
【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 nn?n?22aaa??aibi???ai?bi 当且仅当1?2?...?nb1b2bni?1i?1?i?1??i?1,2,.n.?.,2时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当a1?a2???an?0或b1?b2??bn?0时，不等式显然成立 令A??ai?1n2i B??ab C??biii?1i?1nn2i ，当a1,a2,?,an中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数f?x??Ax2?2Bx2?C，展开得：
f?x???aix?2aibix?bi???aix?bi??0 故f?x?的判别式??4B2?4AC?0 2222i?1i?1n??n移项得AC?B，得证。 21.2 向量法证明 ??????????令???a1,a2,?,an?，???b1,b2,?,bn?.则对向量?,?有???cos?,??1，由??????，??????a1b1?a2b2???anbn，???ai,???bi22i?1i?1?2n?2n得2?????n??n2??n2???aibi????ai???bi?.当且仅当cos?,??1，即?,?平行时等号成立。 ?i?1??i?1??i?1???1.3 数学归纳法证明 i ) 当n=1时，有?a1b1??a1b2，不等式成立。 222当n=2时，?a1b1?a2b2??a1b1?a2b2?2a1b1a2b2 22222 a1?a22222?22??b21222222222?b2?a1b1?a2b2?a1b2?a2b1 2?因为a1b2?a2b1?2a1b1a2b2，故有?a1b1?a2b2??a1?a22?2??b212?b2 ?当且仅当a1b2?a2b1，即a1a2?时等号成立。 b1b2ii）假设n=k时不等式成立，即 ?a1b1?a2b2???akbk?2??a12?a22???ak2??b12?b22???bk2? 当且仅当aa1a2????k时等号成立。 b1b2bk那么当n=k+1时， ?a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?2 222??a1b1?a2b2???akbk??2ak?1bk?1?a1b1?a2b2???akbk??ak?1bk?1???a??a?a1?a2???akb1?b2???bk?2ak?1bk?1?a1b1?a2b2???akbk??ak?1bk?12222222222222211?a2???ak2?a2???ak?1?????b?b???b??a??b?b???b?12k222212k?1221222222222bk?1?b1ak?1???akbk?1?bkak?1?ak?1bk?1 222222?a1?a2???anb1?b2???bn ????
当且仅当a1bk?1?b1ak?1,a2bk?1?b2ak?1,?,akbk?1?bkak?1时等号成立， 即a1b?a2???akab?k?1时等号成立。 1b2kbk?1于是n=k+1时不等式成立。 由i ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。 1.4 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于a1,a2,?,an;b1,b2,?,bn有柯西—拉格朗日恒等式 ?a2221?a2???an??b221?b2???b2n???a1b1?a2b2???a2nbn???ab22212?a2b1???a1b3?a3b1?????a1bn?anb1???a2b3?a23b2?2????a2bn?anb2?2????an?1bn?anbn?1? 由实数性质?2?0???R?可得柯西不等式成立。 以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。 2 柯西不等式的推广 2.1 命题1 n2n2nn若级数?ab2?n?2i与?i收敛，则有不等式??aibi???ai?b2i。 i?1i?1?i?1?i?1i?1n2证明：??a2n,?b2ii收敛，0??n??a??n2??n2?ibi????ai???bi? i?1i?1?i?1??i?1??i?1?n2??a?n?n2n2ibi收敛，且?limi?1?n???aibi??limi?1?n???ailimi?1n???bi i?1?2?nnn从而有不等式?a???1??a2ibii?b2i成立。 ?i?i?1i?12.2 命题2[3] nn2若级数?a22?n?n2ni与?bi收敛，且对?n?N有???aibi??i?1i?1i?1??aii?1?b2i，则对定义在i?12的任意连续函数f?x?,g?x?有不等式??b?b2b2??af?x?g?x?dx????af?x?dx?ag?x?dx
实a,b两组数??上
证明：因为函数f?x?,g?x?在区间?a,b?上连续，所以函数f?x?与g?x?、f2?x?、g2?x?在?a,b?上可积，将?a,b?区间n等分，取每个小区间的左端点为?i，由定积分的定义得： ?bnbnaf?x?dx?limn???f??i??x,?g?x?dx?limi?1an???g??i??xi?1?bnbn af2?x?dx?limn???f2??i??x,?g2?x?dx?lim?g2??i??xi?1an??i?1令a2?f22n2n21??21?,b1?g??1?，则?ai与?bi收敛，由柯西不等式得 i?1i?1?n2???f?????n2??n2?i?g?i??x????f??i??x???g??i??x??,i?1??i?1??i?1?n2从而有不等式 ?lim?f?????n2??n2??n??i?g?i??x???lim?f??i??x??lim?g??i??x?i?1??n??i?1??n??i?1????b?2b2b2?afx?g?x?dx?????af?x?dx?ag?x?dx。 2.3 赫尔德不等式[4] 设a1?0,b1?0,(i?1,2,?,n),p?0,q?0,满足1p?1q?1,则11?nab???nap??p?n?q?q等号成立的充分必要条件是???bi?，apqiiii??bi?i?1,2,?,n;?i?1??i?1i?1?证明：首先证明1111p?q?1时，对任何正数A及B，有pAp?qBq?AB. 对凹函数f?x??lnx,有： ln???1?pAP?1qBq?????1plnAp?1qlnBq?lnAB?1pAP?1qBq?AB. 令A?ak1,B?bk1,代入以上不等式并对于k?1,2,?,n，把这n个不等式?n?p?n??ap?i??qi?1???bq?i?i?1??n相加.?an??pq?kbk1ab11?k?1?n??k?1k??1?1?1,即 ?pnqk?1?pnpqnq?pq??ap??bq?i???i???ai?bi?i?1??i?1??i?1i?1?
：0?.?
aibi?p??q?成立。等号成立的充分必要条件是：?,即 ab?ab???????iiiinnpqi?1?i?1??i?1??ai?bii?1i?1nn1pn1qpqai??bi?i?1,2,?,n;??0?. pq 3 柯西不等式的应用 我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样。柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 3.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用 柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索。 1x?2x????n?1??anx例 1：设定义在R上的函数f?x??lg，若o?a?1,n?N,且nxn?2,求证：f?2x??2f?x?. 分析：要证明f?2x??2f?x?，即证： 12x?22x????n?1??an2x1x?2x????n?1??anx lg?2lgnn2xx12x?22x????n?1??an2x1x?2x????n?1??anx只需证： ?2nn2xx证明： ?n12x?22x????n?1??an2x?12?12???1212x?22x????n?1??an2x?2x2x?1?2x?x????n?1??anxx2???1????? 又因0?a?1,n?N,且n?2,故?1??1x?2x????n?1??anx x2xx12x?22x????n?1??an2x?1x?2x????n?1??anx????? nn??2??212x?22x????n?1??an2x1x?2x????n?1??anx?2lg即lg nn2xx?f?2x??2f?x?