例 2：已知a1,a2,?,an为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式aa222???an1?n2?1?112???n。 证明：由柯西不等式得： ?22?1?1???1???a1?1?a2?1???an?1?? ?2n?????1a12a2nan?? ???a1a2a??111??12?22???nn2?????a?????1a2an??于是a1111a2a?11??2???12???nn2???1?1n2?22???n??1。 a?a???112an又因为a1,a2,?,an为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于1?11大的不小于你，这样就有12???1n1?1。 a????1a2an1?1?1所以有???1?12???1?12??nn???1?1???1。 ?1??12na1a2an因为a1?1?11a2a?11?2??n12?22???nn2???1?2???n??1 ?1???1a1a2an而??11?1?12???1n?1?2???n??1?1?1???1 a?1???12n1a2an所以有a21?aan22???n2?1?12???1n。 n例 3：设a?i?0?i?1,2?,n?,则证明：??i?1??na2?j??a2i?n?1??a1j?1??
2，最a2???an? ?
证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数x1,x2,?,xn,有 ?x21222?x2???xn12?12???12??x1?x2???xn? 2?x1?x2???xn? ???2?即x1?x2???xnnn22n于是?i?1????aj2??ai2????i?1?j?1?n??n2???????aj??ai?/?n?1? ?????j?1?2n??nn??11?n?1??ai?n?1?a1?a2???an?。 aj??ai??=??????n?1i?1?n?1i?1???j?1?? 3.2 利用柯西不等式求最值 例[5]已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a?2b?3c?6d?5 试求a的最值 解：由柯西不等式得，有2b?3c?6d?2222?22211???1?????b?c?d? 2362??即2b2?3c2?6d2??b?c?d?由条件可得，5?a2??3?a? 22解得，1?a?2当且仅当2b3c6d时等号成立， ??11123611,d?时，amax?2 3621 b?1,c?,d?时，amin?1 33代入b?1,c? 3.3 求函数的极值 柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值。事实上，由?a1b1?a2b2???anbn?2??a12?a22???an2??b12?b22???bn2?可得 a1b1?a2b2???anbn??a21?a2???anb1?b2???bn,如将上式左边当作一22??222?个函数，而右边值确定时，则可知a1b1?a2b2???anbn的最大值与最小值分别是?a21?a2???anb1?b2???bn22??222?与??a21?a2???anb1?b2???bn,22??222?且取最大值与最小值的充要条件是aa1a2????n. b1b2bn
反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。 例 1：求函数y?4x?2?9?3x的最大值。 解：函数y?4x?2?9?3x的定义域为：?2,3? y?4x?2?9?3x?4x?2?3?3?x?42?当且仅当43?x?3?2?x即x?所以ymax?19 ?3???2x?2???23?x?2 54??2,3?时等号成立。 19例 2：求函数y?asinx?bcosx的极值，其中a,b是常数。 解：由柯西不等式：y2??asinx?bcosx??a2?b2sin2x?cos2x?a2?b2 2????故有?a2?b2?y?当且仅当a2?b2。 sinxcosxa?时，即x?arctan?k??k?Z?时， abb函数y?asinx?bcosx有极小值?a2?b2，极大值a2?b2。 例 3：已知a,b,c,R为常数，当x2?y2?z2?R2时，求函数f?x,y,z??ax?by?cz的最大值与最小值。 解：由柯西不等式： f2?x,y,z???ax?by?cz??a2?b2?c2x2?y2?z2?a2?b2?c2R2 2??????故f?x,y,z??Ra?b?c。 222当且仅当xyz???1,即x?at,y?bt,z?ct ?t为常数?时等号成立。 abc2222将x?at,y?bt,z?ct代入x?y?z?R得a?b?ct?R 则t???2222?22Ra?b?c222,即当?x,y,z???Ra?b?c22?a,b,c?时， f?x,y,z???Ra2?b2?c2分别为所求的最大值与最小值。 3.4 求参数范围 例：已知对于满足等式x?3y?3的任意实数，对?x,y?恒有ax?y?2,求实数a的取值22范围。
解：?ax?y?ax?11?3y?a2??x2?3y2?3a2?1 33?要使对?x,y?恒有ax?y?2?ax?ymax?2 即3a2?1?2??1?a?1 3.5 三角形及三角函数问题 例 1：设p是VABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明x?y?z?1a2?b2?c2 2R证明：由柯西不等式得 x?y?z?ax111111?by?cy?ax?by?cz?? abcabcabcabc? 4R2R记S为VABC的面积，则ax?by?cz?2S?2x?y?z?故不等式成立。 abcab?bc?ca11?ab?bc?ca?a2?b2?c2 2Rabc2R2R例 2：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的43倍，即a2?b2?c2?43S,其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积。 证明：由海伦——秦九韶面积公式：S?s?s?a??s?b??s?c?,其中s?2a?b?c. 2于是 16S2??a?b?c??b?c?a??c?a?b??a?b?c??2b2c2?c2a2?a2b2?a4?b4?c4 由柯西不等式： ???bc22?c2a2?a2b2?b4?c4?a4c4?a4?b4?a4?b4?c4 ??2?????2b2c2a2当且仅当2?2?2,即a=b=c时等式成立。 cab于是4a?b?c变形得： ?444??4?bc22?c2a2?a2b2。 ?a4?b4?c4?2b2c2?2c2a2?2a2b2?32b2c2?2c2a2?2a2b2?a4?b4?c4 ??
即a2?b2?c2??2?3?16S 故有a2?b2?c2?43S,当且仅当a=b=c时等号成立。 例 3：在三角形ABC中，证明?证明：由柯西不等式： 3333。 ?sinnA?sinnB?sinnC?22?sinnA?sinnB?sinnC?2??1?sinnA?1?sinnB?1?sinnC?2?12?12?12sin2nA?sin2nB?sin2nC2???? 即?sinnA?sinnB?sinnC??3sin2nA?sin2nB?sin2nC （1） 因为 ??sin2nA?sin2nB?sin2nC?1?cos2nA??2?cos2nA?1?cos2nB1?cos2nC?221?cos2nB?cos2nC?2?2?cos2nA?cos?nB?nC?cos?nB?nC??2?cos2nA?cos?nB?nC?cos?nB?nC??2?cos2nA?cos?nB?nC?故sin2nA?sin2nB?sin2nC?2?cos2nA?cos?nB?nC? （2） 又因为 ?cosnA??1?cosnA??22?cosnA?cos?nB?nC??2?cosnA?1?cosnA??2??? 2??192因而2?cosnA?cosnA?2?? （3） 449222将（3）代入（2）得sinnA?sinnB?sinnC? （4） 492将（4）代入（1）得?sinnA?sinnB?sinnC??3? 42即?3333?sinnA?sinnB?sinnC?。 223.6 利用柯西不等式解方程[5] ?x2?y2?z2例 在实数集内解方程? ??8x?6y?24z?39解：由柯西不等式，得 ?x
2?y2?z2??8??62???24????8x?6y?24z? （1） 222???