P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数 如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q 或5不是素数，或7被2除尽 ┐R∨Q 5是素数 R 所以6是奇数 ┐P 即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P 证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P ? ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P ? ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
? ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q)) ? (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q) ?T
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。 证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T， 则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T， 再由P→┐Q为T，得到┐P为T。 8） 证明：
a) P?(┐P→Q)
设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T b) ┐A∧B∧C?C
假定┐A∧B∧C为T，则C为T。 c) C?A∨B∨┐B
因为A∨B∨┐B为永真，所以C?A∨B∨┐B成立。 d) ┐(A∧B) ?┐A∨┐B
设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。
若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。命题得证。
e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A?B∨C 设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T， 则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T 又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。 f) (A∧B)→C，┐D，┐C∨D?┐A∨┐B
设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F
又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。 （9）解：
a) 如果他有勇气，他将得胜。
P：他有勇气 Q：他将得胜
原命题：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。
b) 仅当他不累他将得胜。
P：他不累 Q：他得胜
原命题：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。
习题 1-6 (1)解：
a) (P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q) b) (P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q
? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q) ?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q) ?┓P∧Q
?┐(P∨┐Q)
c) ┐P∧┐Q∧(┐R→P)
?┐P∧┐Q∧(R∨P)
?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P) ?(┐P∧┐Q∧R)∨F ?┐P∧┐Q∧R ?┐(P∨Q∨┐R)
(2) 解：
a)┐P? P↓P
b)P∨Q?┐(P↓Q) ? (P↓Q)↓(P↓Q)
（ c)P∧Q?┐P↓┐Q? (P↓P)↓(Q↓Q) (3)解：
P→(┐P→Q) ?┐P∨(P∨Q) ?T
?┐P∨P
? (┐P↑┐P)↑(P↑P) ?P↑(P↑P)
P→(┐P→Q) ?┐P∨(P∨Q) ?T
?┐P∨P ?┐(┐P↓P) ?┐((P↓P)↓P)
?((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P) (4)解：
P↑Q
?┐(┐P↓┐Q)
?┐((P↓P)↓(Q↓Q))
? ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q)) (5)证明：
┐(B↑C)
?┐(┐B∨┐C) ? ┐B↓┐C ┐(B↓C)
?┐(┐B∧┐C) ?┐B↑┐C
(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：
a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F ?
故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).
b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q) ↓R为T，P↓(Q
?
↓R)为F
故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R). (7)证明：
设变元P，Q，用连结词?,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P，Q?Q，Q?P。
但P?Q?Q?P，P?P?Q?Q，故实际有：
P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P（T） （A） 用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）： P，Q，┐P，┐Q，┐（P?Q）， T，F， P?Q （B） 用?作用于（A）类，得到：
P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?（P?Q）?Q，P?（P?P）?P，
Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?（P?Q）?P，Q?T?Q, ┐P?┐Q?P?Q，┐P?（P?Q）?┐Q，┐P?T?┐P, ┐Q?（P?Q）?┐P，┐Q?T?┐Q, （P?Q）?（P?Q）?P?Q. 因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。 对（B）类使用┐运算得：
┐P，┐Q，P，Q， P?Q， F，T， ┐（P?Q）， 仍在（B）类中。
对（B）类使用?运算得：
P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?┐（P?Q）?┐Q，P?T?P，P?F?┐P，P?（P?Q）?Q， Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?┐（P?Q）?┐P，Q?T?Q, Q?F?┐Q， Q?（P?Q）?P，
┐P?┐Q?P?Q，┐P?┐（P?Q）?Q，┐P?T?┐P, ┐P?F?P,┐P?（P?Q）?┐Q，
┐Q?┐（P?Q）?P，┐Q?T?┐Q, ┐Q?T?┐Q,┐Q?（P?Q）?┐P， ┐（P?Q）?T?┐（P?Q），┐（P?Q）?F?P?Q，┐（P?Q）?（P?Q）?F
T?F?F，T?（P?Q）? P?Q
F?（P?Q）? ┐（P?Q） （P?Q）?（P?Q）?P?Q.
故由（B）类使用?运算后，结果仍在（B）中。
由上证明：用?,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{?,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。 ∨ 已证{?,┐}不是最小联结词组，又因为P Q? ┐（P?Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用{ , ┐}表达，则必可用{?,┐}表达，∨ ∨ ? (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q) (2) 解：
a) (┐P∧Q)→R
?┐(┐P∧Q)∨R ? P∨┐Q∨R
?(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
b) P→((Q∧R)→S)
其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小联结词组。 (8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。 证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则 ┐P?（P∨P∨??） ┐P?（P∧P∧??） ┐P?P→(P→(P→??)
对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。
所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。
(9)证明{┐,→}和→c{
┐, }是最小联结词组。 证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨Q?┐P→Q
所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。
所以{┐,→}是最小联结词组。又因为P→Q?→c
┐ (P Q)，所以→c {┐, }是功能完备的联结词组，又→c
{┐},{ }不是功能完备的联结词组，
所以{┐→c, }
是最小联结词组。
习题 1-7 (1) 解：
P∧(P→Q)
?P∧(┐P∨Q)
? (P∧┐P)∨(P∧Q) P∧(P→Q)
? (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q) ?┐P∨(┐(Q∧R)∨S) ?┐P∨┐Q∨┐R∨S
?(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P) c) ┐(P∨┐Q)∧(S→T)
?(┐P∧Q)∧(┐S∨T)
?(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T) d) (P→Q)→R
?┐(┐P∨Q)∨R ?(P∧┐Q)∨R
?(P∨R)∧(┐Q∨R) e) ┐(P∧Q)∧(P∨Q)
?(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
?(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q) ? (┐P∧Q)∨(┐Q∧P) (3) 解：
a) P∨(┐P∧Q∧R)
?(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R) ?(P∨Q)∧(P∨R) b) ┐(P→Q)∨(P∨Q) ?┐(┐P∨Q)∨(P∨Q) ?(P∧┐Q)∨(P∨Q)
?(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q) c) ┐(P→Q) ?┐(┐P∨Q)
? P∧┐Q ?(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P) d) (P→Q)→R ?┐(┐P∨Q)∨R ? (P∧┐Q)∨R ? (P∨R)∧(┐Q∨R) e) (┐P∧Q)∨(P∧┐Q) ?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q) ?(┐P∨┐Q)∧(Q∨P) 解： a) (┐P∨┐Q)→(P?┐Q) ?┐(┐P∨┐Q) ∨(P?┐Q) ? (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q) ??1，2，3 ?P∨Q=?0 b) Q∧(P∨┐Q) ? (P∧Q)∨(Q∧┐Q) ? P∧Q =?3 ??0，1，2 ?(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) c) P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R)) ?P∨(P∨(Q∨(Q∨R)) ?P∨Q∨R=?0 ??1，2，3,4,5,6,7 =(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R) d) (P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R)) ? (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R)) ? (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R)) ? (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =?0,7 ??1，2，3,4,5,6?? (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R) e) P→(P∧(Q→P) ?┐P∨(P∧(┐Q∨P) ?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P) ?T∨(T∧┐Q) ?T ??0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q) f) (Q→P) ∧(┐P∧Q) ? (┐Q∨P) ∧┐P∧Q ? (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ?F
??0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)证明： a) (A→B) ∧(A→C) ? (┐A∨B) ∧(┐A∨C) A→(B∧C) ?┐A∨(B∧C) ? (┐A∨B) ∧(┐A∨C) b) (A→B) →(A∧B) ?┐(┐A∨B) ∨(A∧B) ? (A∧┐B) ∨(A∧B) ?A∧(B∨┐B) ?A∧T ?A (┐A→B) ∧(B→A) ? (A∨B) ∧(┐B∨A) ?A∨(B∧┐B) ?A∨F ?A c) A∧B∧(┐A∨┐B) ? ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B ?A∧B∧┐B
(4)
(5) ?F
┐A∧┐B∧(A∨B)
? ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B ?┐A∧┐B∧B ?F d)
A∨(A→(A∧B) ?A∨┐A∨(A∧B) ?T
┐A∨┐B∨(A∧B) ?┐(A∧B) ∨(A∧B) ?T
(6)解：A?R↑(Q∧┐(R↓P)),则A*? R↓(Q∨┐(R↑P))
A?R↑(Q∧┐(R↓P)) ?┐(R∧(Q∧(R∨P))) ?┐R∨┐Q∨┐(R∨P) ?┐(R∧Q) ∨┐(R∨P) A*?R↓(Q∨┐(R↑P)) ?┐(R∨(Q∨(R∧P)) ?┐R∧┐Q∧┐(R∧P) ?┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)
(7) 解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去则C和D中要去一个。 A→(CVD) B和C不能都去。 ┐(B∧C) C去则D要留下。 C→┐D
按题意应有：A→(CVD)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。 因为CVD ? (C∧┐D) ∨(D∧┐C) 故(A→(CVD))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D) ? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)
? (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)
∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)
在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得 (┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B) 故分派的方法为：B∧D ,或 D∧A,或 C∧A。
(8) 解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。
由题意得 (PVQ) ∧(RVS) ∧(EVS)
? ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
? ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))
因为 (P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为
((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S) ? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E) 因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，
即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。 于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。
习题1-8 (1)证明：
a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R?┐P